La historia de las ecuaciones

Un libro muy interesante que abarca la historia de la resolución de las ecuaciones algebraicas desde las primeras civilizaciones (egipcios, sumerios) pasando por los árabes e italianos del Renacimiento hasta la teoría de Galois.
El libro contiene muchas matemáticas, se lee bien hasta llegar a la teoría de Galois que se hace un poco denso. El libro se recomienda a partir de los 16 años, pero creo que una parte de las matemáticas que contiene se salen de los contenidos del actual bachillerato. No obstante es un libro muy recomendable para todos aquellos que estén interesados en la historia de esta parte de las matemáticas.  El autor ha tratado de facilitar las explicaciones y en muchos casos se apoya en ejemplos.
Podréis leer como resolvían las ecuaciones los egipcios y babilónicos, las aportaciones  que hicieron los antiguos griegos, indios y chinos y los avances de la civilización árabe.
Nos enteraremos de la polémica surgida entre los algebristas del Renacimiento italiano Tartaglia y Cardano sobre la paternidad de la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado y quién resolvió la ecuación de cuarto grado.
Veremos como los avances que se hicieron durante los siglos XVII y XVIII, sobre todo por parte de Lagrange fueron fundamentales para la resolución final del problema.
Leeremos como Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra y qué polígonos se pueden construir con regla y compás y la relación entre los tres problemas clásicos (cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo) con la resolución de ecuaciones.
Conoceremos la teoría de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones algebraicas, para ello tuvo que idear conceptos  que ahora son muy importantes en el álgebra moderna como son las estructuras de grupo y de cuerpo.
No se habla mucho de otra figura importante como es Abel que demostró la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado por radicales (esto significa que no puede haber ninguna fórmula como la que existe por ejemplo para resolver las ecuaciones de segundo grado que nos de las soluciones haciendo operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y obtención de raíces)

Fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado

La conjetura de Poincaré. En busca de la forma del universo

En los libros de divulgación de matemáticas que hablan de topología se suele decir que es la geometría de la "goma elástica". Con ello se hace referencia a que la topología estudia las propiedades geométricas de los objetos que no cambian al aplicarles una transformación continua. En este tipo de libros no se profundiza mucho en esta materia y no se dan más que unas cuantas ideas sobre objetos que son equivalentes topológicamente como un rectángulo (entendido como una línea) y una circunferencia, la superficie esférica con un globo en forma de hipopótamo o un toro(rosquilla) con una jarra con un asa.
Se suele comentar la fórmula de Euler sobre poliedros como un invariante que depende del espacio donde esté situado el poliedro. También suele aparecer el teorema de los cuatro colores (todo mapa puede colorearse con 4 colores como máximo teniendo en cuenta que regiones de frontera común deben tener colores diferentes)
Este libro también es de divulgación, pero está dedicado a la difícil tarea de hacer comprensible para el público en general una materia tan abstracta y compleja como la topología más allá de los resultados antes comentados. El libro trata de hacer comprensible la conjetura de Poincaré.
A través de una historia de la geometría en la que el autor se detiene en los hechos que tienen relevancia para el tema que trata, nos van apareciendo, conceptos, ideas, etc que desembocan en la explicación de la demostración de la conjetura llevada a cabo en 2003 por el matemático ruso G. Perelmann. Además el autor relaciona este resultado con la forma del universo a través de la teoría de la relatividad de Einstein.
El libro desde mi punto de vista consigue su objetivo aunque algunas partes son difíciles de entender y de imaginar.

Pero ¿qué dice la conjetura de Poincaré?
En nuestro espacio tridimensional en una esfera todo lazo hecho con una cuerda se puede cerrar hasta comprimirlo en un punto.

Esto no ocurre para otras superficies, por ejemplo en un flotador (matemáticamente un toro) esto no es posible 

La conjetura se refiere a una esfera tridimensional (no es una esfera maciza) y afirma que si en una variedad tridimensional una trayectoria cerrada se puede comprimir a un punto es topólogicamente equivalente a una esfera tridimensional.
No es fácil imaginarse una esfera tridimensional o triesfera:
Una esfera unidimensional es la circunferencia, es cerrada y no tiene frontera (simplemente conexa) si la rellenamos tenemos un círculo (superficie), un círculo tiene frontera, si a esa frontera pegamos otra frontera de otro círculo tenemos una superficie cerrada y sin frontera: una esfera (superficie simplemente conexa). Si rellenamos la esfera (piensa en una bola de plastelina) tenemos un cuerpo (tres dimensiones) con frontera, si pegamos las fronteras de dos de estas bolas de plastelina tendríamos una triesfera que sólo podría estar en un espacio de cuatro dimensiones.

El agua deforma el fondo de la piscina, pero es una transformación continua, los mosaicos se deforman, pero su contorno sigue siendo cerrado.

Sumas de series divergentes

Una serie es una suma de infinitos números, por ejemplo:
 1+0,1+0,01+0,001+.........
Se podría pensar que al sumar infinitos números, por muy pequeños que sean el resultado sería siempre infinito como ocurre con la llamada serie armónica.

Aunque cada vez se suma un número menor la suma se va haciendo cada vez mayor sin estar acotada (por decirlo de forma sencilla, sin tener un techo superior), pero lo hace tan lentamente que para que el resultado de la suma sea mayor que 5 hay que sumar los primeros 83 sumandos, para que sea mayor que 6 hay que sumar los 227 primeros sumandos, para que sea mayor que 10 hay que sumar los 12367 primeros sumandos....
Pero esto no es así siempre, hay series en las que la suma se acerca a un número, se denominan series convergentes, la primera que he escrito lo es y su suma es 1,11111....=10/9
Cuando una serie no es convergente se dice que es divergente, la serie armónica lo es,  y también las que van a continuación:
 1+2+4+8+16+32+..........
1-1+1-1+1-1+1-1+.............
La suma de infinitos números es problemática y puede llevar a paradojas como las que aparecen en los siguientes vídeos, precisamente con las dos series anteriores, el segundo está en inglés, pero se entiende.

17 ecuaciones que cambiaron el mundo

Este nuevo libro de Ian Stewart es una historia de los avances tecnológicos de la humanidad explicados a través de 17 ecuaciones que condensan los avances en matemáticas y física desde el Teorema de Pitágoras a la Teoría de la Relatividad. Cuando usamos la tecnología ( ver la televisión, usar un móvil o el ordenador, etc...) nunca nos paramos a pensar en los descubrimientos científicos que los han hecho posible.
Si tienes curiosidad por saber que avances en matemáticas y física hacen que funcione la radio, el GPS, el ordenador, el móvil o incluso como se calcula la rentabilidad de complicados productos financieros que están detrás de la crisis bancaria que estalló en 2008 y que todavía sufrimos, este libro te permitirá introducirte, de una forma amena, en los campos de las matemáticas y física que los han hecho posible.
A mi me ha gustado porque permite visualizar la importancia de las matemáticas para la física, la biología, la economía, etc.. y como todo ello permite que se desarrolle la tecnología.De alguna manera uno puede ver que las matemáticas si que sirven para algo, es más, son muy importantes. Sin ellas no estaríamos disfrutando de estos avances tecnológicos.
En definitiva, un libro interesante que puede leerse aunque no se tengan conocimientos muy profundos de matemáticas o física ya que el autor explica el significado de los términos de la ecuación de forma sencilla.