El libro "Prime Obsession. Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics" de J. Derbyshire es un libro de divulgación (no está en español) que trata de explicar el significado de la hipótesis de Riemann.
La función
 "\pi (x)")
da el número de números primos que son menores que x. Por ejemplo
=4&space;,&space;\pi&space;(25)=9 "\pi (10)=4 , \pi (25)=9")
ya que hay 4 números primos menores que 10 (2, 3, 5, 7) y 9 números primos menores que 25 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Gauss y Legendre conjeturaron que
Que puede interpretarse como que la función
se aproxima a la expresión de la derecha a medida que x se hace muy grande. Este resultado se conoce como el teorema de los números primos y fue demostrado a finales del siglo XIX por J. Hadamard y C. de la Vallée Pousin.
Por otro lado, Riemann en un artículo de 1859 titulado "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada" estableció una relación entre la función
y otra función que desde entonces se denomina
función z de Riemann:
Esta función también puede escribirse
donde p recorre todos los números primos.
En realidad esta función fue creada por Euler, que además, estableció la relación entre las dos expresiones, para él s era un número real. Riemann extendió la función al campo de los números complejos.
En dicho artículo Riemann encontró una relación entre
y la función z, se podía calcular cualquier valor de
a partir de una expresión en la que aparecian los ceros de la funcion z, es decir los valores de s para los que
Riemann conjeturó que los ceros no triviales de la función z son números complejos cuya parte real es 1/2, esta es la famosa
Hipótesis de Riemann, uno de los más importantes problemas no resueltos de matemáticas.
El libro va paso a paso introduciendo al lector en las matemáticas que se necesitan para para entender la hipótesis, aunque creo que se necesitan conocimientos más elevados que los de bachillerato para llegar a entender completamente bien los pasos que sigue el autor del libro.
Sólo la mitad de los capítulos (los impares) son de contenido matemático. Los capítulos pares están dedicados a comentar la vida y obra de los matemáticos que aparecen en el texto: Riemann, Gauss, Euler, Hilbert, etc.
Es un libro interesante porque permite ver claramente la importancia de la hipótesis de Riemann en la distribución de los números primos, algo que otros libros de divulgación mencionan, pero en los que esta relación no queda clara.
