Un problema para acceder al MIT

 En la web "mind your decisions" , de la que he hablado en otras entradas el blog, aparecen semanalmente problemas (por lo general de geometría) para resolver. 

El de esta semana me ha llamado la atención porque es un problema que apareció en las pruebas de acceso al MIT (instituto tecnológico de Massachusetts) en 1876 y dice así:

Un padre le dice a su hijo, hace dos años tenía el triple de edad que tú y dentro de 14 años sólo tendré el doble ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?

La verdad es que es un problema muy simple que hoy podrían resolver fácilmente alumnos de 3º de la ESO, pero, claro, esto era en1876.

Number. The language of science

En este libro que se ha convertido en un clásico de la historia de las matemáticas, el autor, Tobias Dantzig, hace un recorrido por el concepto de número desde las primeras nociones de cantidad, hasta el conjunto de los números complejos.
El libro comienza hablando del sentido de cantidad que tanto los humanos como algunos animales tiene. Sigue con la comparación de cantidades, lo que llamamos la correspondencia uno a uno. Sigue después con los sistemas de numeración para escribir cantidades hasta el gran logro del sistema de posición con la importancia que tiene el símbolo para escribir el cero.
Entonces el autor nos va comentando los diferentes conjuntos numéricos, primero los naturales y las operaciones que con él se pueden realizar. La insuficiencia de este conjunto cuando el campo de las matemáticas se va ensanchando y es necesario introducir las fracciones para expresar cantidades que no son enteras, por ejemplo al medir. Con la creación de ecuaciones aparecen los números negativos y las fracciones negativas, dando lugar a los números enteros y a los racionales.
El autor se detiene después en los números irracionales, las dificultades de entenderlos porque están relacionados con el infinito (son números que después de la coma decimal tienen infinitas cifras y no tienen periodo) Los esfuerzos de cantor y Dedekind para abordarlos y darles rigor. Por último la aparición de los números imaginarios y complejos que completan los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas.
Pero el libro no acaba aquí, se detiene en los números transfinitos de Cantor y con ello acaba la primera parte. en la segunda (son varios apéndices) aparecen diferentes tópicos del gusto del autor, es desde mi punto de vista menos interesante, contiene, además más tecnicismos y se necesita saber algo de matemáticas para entenderlos.
En resumen, un magnífico libro para conocer como se han ido gestando en matemáticas los diferentes tipos de números y como, a lo largo de la historia se han ido incluyendo en la corriente general de las matemáticas.

Acabo con un problema de la web "Mind your decisions"
¿Cuál es el radio de la circunferencia de la figura?

The man who knew infinity

Este es el libro en el que se basa la película del mismo título. En castellano, "El hombre que conocía el infinito", Yo vi la película antes de leer el libro y me pareció interesante, sobre todo, porque no suele haber películas dedicadas a matemáticos o relacionadas con las matemáticas. Pero debo decir, que el film  es una mínima parte de lo que se cuenta en el libro  y, además, esa parte que cuenta está un poco tergiversada, o eso pienso yo al menos, una vez leído el libro.
El libro da mucha información sobre Ramanujan, donde nació, a que casta pertenecía, como fue su infancia, de alguna manera llegas a conocer a la persona. También nos permite saber mucho sobre el otro personaje principal, Hardy, sus ideas y actitudes. Además, permite conocer muy bien cómo fue la relación entre ellos y cómo vivió Ramanujan en Cambridge durante los días de la Primera Guerra Mundial, así como de la enfermedad que le llevaría a la muerte. También se puede conocer en las áreas de las matemáticas en las que trabajaron juntos y el contenido de los famosos cuadernos en los que Ramaujan apuntaba sus descubrimientos.
En definitiva, un buen libro para saber más sobre, tanto sobre este mátemático original que fue Ramanujan, como sobre Hardy y la vida en un College de Cambridge en los primeros años del siglo XX.

Algunas fórmulas que descubrió Ramanujan son

Puedes ver como se consigue la primera en esta secuencia

Una carrera peculiar

Andrés, Berto y Carlos corren entre ellos una "San Silvestre" peculiar de 1000 m, pero como son muy amigos hacen lo siguiente:
Andrés deja una ventaja de 50 m a Berto y de esta forma los dos llegan a la meta a la vez.
Después Andrés corre con Carlos y le deja una ventaja de 69 m, de esta forma los dos llegan a la vez.
En la tercera carrera corren Berto y Carlos ¿Cuántos metros de ventaja debe dejar Berto a Carlos para que ambos lleguen a la meta a la vez?

Este problema está adaptado del blog "Mind your decisions"

Cada oveja con su pareja y otras cosas

Estos dos problemas aparecen en el libro de Matemáticas aplicadas a las CCSS II de la editorial editex

Tres amigos, Juan, José y Jesús van de compras con sus parejas, María, Merche y Marina, aunque no necesariamente en este orden. Cada uno de los seis compra uno o varios objetos y paga por cada objeto tantos euros como objetos compra. José compra 23 objetos más que María y Juan 11 más que Merche. Cada hombre gastó 63 € más que su pareja ¿Cuál es la pareja de cada uno?

En un aparcamiento hay estacionados coches negros, blancos y rojos. Algunos de ellos son todoterreno. Hay dos veces más coches negros que blancos y dos veces más blancos que rojos. Hay tantos coches todoterreno blancos como rojos no todoterreno, estos últimos son tres veces más numerosos que los todoterreno negros. Los coches blancos que no son todoterreno son el triple que los todoterreno negros. ¿Cuántos todoterreno rojos hay en el aparcamiento?

What we cannot know

Otro libro más de Marcus du Sautoy  y tan interesante como sus otros libros reseñados en este blog. El autor se plantea la siguiente pregunta:
¿Hay fenómenos a los que nunca podremos tener acceso desde la ciencia o esta es lo suficiente poderosa para que nos permita conocer absolutamente todo? es decir ¿El conocimiento científico nos permitirá conocerlo todo o tiene limitaciones?
Cada sección del libro está dedicada a una rama de la ciencia, principalmente de la física (la física clásica, las partículas fundamentales, la física cuántica, el universo, el tiempo, el cerebro y las matemáticas)
Cada sección está dividida en dos capítulos, en el primero el autor nos pone frente a lo que conocemos de esos temas, en el segundo nos cuenta lo que desconocemos y si lo podremos conocer o no.
Es un libro interesante porque se puede leer como un resumen de los últimos avances en la ciencia, sobre todo en física y en los otros temas tratados. En cuanto a lo que no conocemos, de Sautoy tiene la virtud de no ser demasiado especulativo, desde mi punto de vista es  bastante realista en cuanto a si podremos conocer o no el final de la ciencia, entendiendo esto como el conocimiento de todas las leyes de la física y concentrarlas en unas pocas ecuaciones.


Para terminar un ejercicio muy sencillo tomado de la web mind your decisions
Si 3x=4y=5z y los números x, y, z son enteros positivos ¿Cuál es el menor valor de x+y+z?

A most elegant equation

El título del libro hace referencia a la famosa fórmula de Euler

El libro trata de explicar cada uno de los números que aparecen en la fórmula, dedicándose principalmente al número e y al número i. También, aunque en menor medida, al resto de ellos. Posteriormente, nos introduce algo de trigonometría , que necesita para llegar a la fórmula más general

a partir de los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno.
El último capítulo es una reflexión sobre lo que es bello o no en matemáticas. En resumen, es un libro interesante para aquellos que no conozcan nada sobre esta famosa fórmula, pero que no aporta nada más.
Acabo con un problema de matemáticas recreativas:

Si un jugador de baloncesto empieza un partido habiendo marcado 2 de 5 triples tiene un porcentaje de aciertos del 40%, si el siguiente tiro triple lo marca, su porcentaje de aciertos sube al 50% (3 encestes de 6 intentos). Es decir, se pasa del 40 al 50% en un sólo lanzamiento. La pregunta es la siguiente, si este mismo jugador empieza un partido con un porcentaje de aciertos en los triples inferior al 75% y durante el partido este porcentaje es superior al 75% ¿En algún momento del partido tendrá exactamente el 75% o como en el ejemplo inicial puede pasar de una situación a la otra sin pasar por el 75% exacto?

Radicales continuos

Al igual que las fracciones continuas los radicales continuos o anidados son una fuente de sorpresas matemáticas. He encontrado estos en una página de matemáticas que contiene interesantes problemas que se llama "mind your decisions" las soluciones las puedes encontrar en dicha web junto con otros muchos desafíos.
Aquí van unos cuantos
El primero es sencillo, su valor es 100 ¿Podrías averiguar por que ?

El segundo es similar pero con una raíz enésima su valor es

Aquí va otro

 Su valor es

Otro problema más de esta web, este mucho más fácil, pero cuidado con la prioridad de las operaciones.

Tres faros

Este problema lo he encontrado en una web que se llama "Mind your decisions"

"En una costa hay tres faros . El primero luce tres segundos y después tiene 3 segundos de oscuridad. El segundo faro brilla 4 segundos a los que siguen 4 de oscuridad y el tercero brilla 5 segundos y después tiene 5 segundos de oscuridad"
Si los tres empiezan a brillar juntos:
a) ¿Cuándo es la primera vez que los tres faros estarán apagados a la misma vez?
b) ¿Cuándo es la siguiente vez que los tres faros empiezan a brillar a la misma vez?
La primera pregunta es fácil de responder, si escribo l por "luz" y o por "oscuridad"(cada letra es un segundo)
1.- l  l  l o o o l  l  l o o o......
2.- l  l  l  l o o o o l  l  l  l o o o o......
3.- l  l  l  l  l o o o o o l  l  l  l  l  o o o o o.....
Vemos que a los 6 segundos los tres faros están en oscuridad a la vez. Tampoco es difícil contestar a la segunda pregunta si uno se acuerda del concepto de "mínimo común múltiplo".
Pero voy a proponer una variante del problema:
¿En qué momento los tres faros se apagan a la vez?

Problema de la semana

Un señor reparte entre sus hijos un rebaño de ovejas de la forma siguiente:
Al primero le deja una oveja más un séptimo de las restantes. Al segundo le deja 2 ovejas más un séptimo de las restantes, al tercero 3 ovejas más un séptimo de las restantes y así sucesivamente.
De esta forma reparte la misma cantidad de ovejas entre sus hijos.
¿Cuántas ovejas tenía el rebaño? ¿Cuántos hijos tenía el señor?

Responder de forma justificada y explicando cómo llegáis a la solución.

Problema de la semana

Esta semana otro problema parecido al de la semana anterior.

¿Cuánto vale la suma de las cifras del número 10⁹⁹-99?

Todos estos grabado son de M.C. Escher, un pintor holandés que me gusta mucho. Podéis saber más de él en su web

Problema de la semana

El enunciado de esta  semana es muy simple ¿En qué cifra acaba ?
Os doy algunas pistas:

• No hay que calcular 
• Hacedlo con otras potencias más sencillas
• Buscad patrones 

Las fotos están tomadas de el diario EL PAÍS y pertenecen a la colección de mejores fotos tomadas con microscopio

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Problema de la semana

Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de 11 monedas de oro y un caballo, pero a los 4 meses el sirviente se despide recibiendo como sueldo el caballo y una moneda de oro ¿Cuántas monedas de oro vale el caballo?

Problema de la semana

30 de Octubre de 2017

Si en una clase de 30 estudiantes 20 llevan zapatillas, 15 son del Real Madrid y 13 llevan zapatillas y son del Real Madrid ¿Cuántos hay que ni llevan zapatillas ni son del Madrid?

El problema de la semana

23 de octubre de 2017

Tres mercaderes deben repartirse entre ellos 21 barricas de vino de las cuales 7 están llenas, 7 están a la mitad y otras 7 están vacías. El reparto debe hacerse de tal forma que a cada uno le corresponda el mismo número de barricas y la misma cantidad de vino

Prime obsession. Problema

Ya sabemos que los números irracionales son números decimales que tienen infinitas cifras, pero que no tienen periodo. Hay números irracionales que son trascendentes. Creo que los que aparecen en los siguientes problemas lo son.

El primero aparece en el libro que he comentado en la entrada anterior

En el número irracional 0,123456789101112131415..................
¿Qué cifra ocupa el lugar 100? ¿Y el lugar 1000? ¿Y el lugar 1000000?

En el número irracional 0,10100100010000100000..................
¿Qué lugar ocupan las cifras que van con 1?