Partiendo de la conocida fórmula de Euler para los poliedros:
La fórmula de Euler es la piedra angular sobre la que evoluciona durante el siglo XIX la topología, su generalización a todo tipo de poliedros, superficies, grafos, permite al autor navegar por la historia de esta rama matemática a la vez que se la va mostrando al lector.
Además aparecen otros resultados como la teoría de grafos, también iniciada por Euler al resolver el famoso problema de los puentes de Konigsberg. Tampoco se olvida del otro famoso resultado: el teorema de la posibilidad de pintar cualquier mapa sólo con 4 colores diferentes.
Como he comentado anteriormente, Richeson utiliza la fórmula de Euler para adentrarse en esta rama de las matemáticas, ello le permite definir los invariantes topológios y la clasificación de las superficies. Lo extiende la la teoría de nudos e incluso a variedades de dimensión superior a 2, concluyendo con la conjetura de Poincaré.
El libro es exigente porque requiere concentración para seguir los razonamientos del autor, pero no requiere grandes conocimientos de matemáticas (creo que de nivel de bachillerato). Pero es un libro muy interesante que permite hacerse una visión clara de la topología.
Problema de los puentes de Konigsberg: Esta ciudad esta atravesada por el río Pregel, que se bifurca para rodear con sus brazos una isla dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas, las que entonces estaban unidas mediante siete puentes llamados Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel. El consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de inicio. Ver wikipedia.
Problema del mapa de los 4 colores: Dado cualquier mapa con regiones continuas, este puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color. Ver wikipedia
