Sumas de series divergentes

Una serie es una suma de infinitos números, por ejemplo:
 1+0,1+0,01+0,001+.........
Se podría pensar que al sumar infinitos números, por muy pequeños que sean el resultado sería siempre infinito como ocurre con la llamada serie armónica.

Aunque cada vez se suma un número menor la suma se va haciendo cada vez mayor sin estar acotada (por decirlo de forma sencilla, sin tener un techo superior), pero lo hace tan lentamente que para que el resultado de la suma sea mayor que 5 hay que sumar los primeros 83 sumandos, para que sea mayor que 6 hay que sumar los 227 primeros sumandos, para que sea mayor que 10 hay que sumar los 12367 primeros sumandos....
Pero esto no es así siempre, hay series en las que la suma se acerca a un número, se denominan series convergentes, la primera que he escrito lo es y su suma es 1,11111....=10/9
Cuando una serie no es convergente se dice que es divergente, la serie armónica lo es,  y también las que van a continuación:
 1+2+4+8+16+32+..........
1-1+1-1+1-1+1-1+.............
La suma de infinitos números es problemática y puede llevar a paradojas como las que aparecen en los siguientes vídeos, precisamente con las dos series anteriores, el segundo está en inglés, pero se entiende.