Problemas de verano

Unos cuantos sencillos problemas para entretenerse.

1.- ¿Para qué valores de n la expresión siguiente es un número entero?

2.- Resolver la ecuación

3.- Busca seis números impares a, b, c, d, e, f  que verifiquen

4.- Carmen y sus amigos están sentados alrededor de una mesa redonda. Observan que cada uno tiene a su izquierda y a su derecha  amigos del mismo sexo. Si hay 5 chicos ¿Cuántas chicas hay?

An imaginary tale. The story of i

 Los números imaginarios aparecieron por primera vez en matemáticas en el siglo XVI cuando los matemáticos estaban tratando de resolver ecuaciones de 3º y 4º grado. Matemáticos como Tartaglia, Cardano y, sobre todo, Rafael Bombelli se las vieron con las raíces cuadradas de los números negativos. pero fue este último el que dio un paso adelante trabajando por primera vez ellas, aunque sólo como pasos intermedios en los que el resultado final no era imaginario.
Sin embargo el autor se remonta a trabajos de matemáticos griegos en los que autores como Herón estuvieron muy cerca de descubrirlos.
Matemáticos importantes como Wallis y Descartes los rechazaron por absurdos y no fue hasta que se les dio una interpretación geométrica como vectores del plano y a sus sus operaciones como giros y traslaciones de esos vectores que no entraron de lleno en las matemáticas.
Desde ese momento los matemáticos los utilizaron en multitud de situaciones porque resolvían problemas que hasta entonces no habían podido. También entraron a formar parte de los cálculos de algunas ramas de física como el estudio de la corriente alterna.
Muchos cálculos que se realizaron con números complejos no eran completamente rigurosos, sobre todo los relacionados con el cálculo integral y no fue hasta el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja que elaboró Cauchy que se les dio el rigor requerido en matemáticas.
Todo esto es lo que cuenta este libro que es más que un libro de divulgación ya que contiene multitud de cálculos ( integrales, fórmulas, etc) que requieren un seguimiento exhaustivo por parte del lector. Pero si se quieren saltar puede hacerse quedándose sólo con la esencia del libro. La historia de como surgió el número i

de su introducción plena en las matemáticas y de la cantidad de problemas que simplifica o soluciona.

Fotos tomadas de Internet

Mathematics and the physical world

Otro libro de Morris Kline en la frontera entre la física y las matemáticas. Después de varios capítulos en los que  explica como es el razonamiento matemático, es decir, como se demuestran las verdades matemáticas, el autor pasa a explicar como funcionan las matemáticas en la física. Como, a partir de unos cuantos principios físicos y el  razonamiento matemático, se pueden descubrir otras verdades físicas que no habíamos observado. Poniendo ejemplos que van de Galileo, pasando por Newton y llegando a las leyes del electromagnetismo de Maxwell, Morris Kline nos va mostrando descubrimientos físicos que no se podrían haber hecho sin la ayuda de las matemáticas. El más elocuente es el descubrimiento de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Los temas finales están dedicados al descubrimiento y desarrollo del cálculo diferencial e integral y a explicar como las ecuaciones diferenciales son el recurso más poderoso para descubrir verdades en física.
Este libro es de temática parecida a otros del autor, pero es original en el sentido de trata de explicar como ayudan las matemáticas a los descubrimientos del mundo físico.
Las matemáticas son la herramienta  que usan los físicos para descubrir los aspectos ocultos de la naturaleza, sólo después de estos descubrimientos "matemáticos" los físicos experimentales tratan de comprobar si lo descubierto es cierto o no preparando cada vez más complicados y caros experimentos. Sólo después de ellos una teoría física elaborada a partir de las matemáticas es aceptada como válida o no.
El libro termina explicando el motivo por el que las matemáticas funcionan, por qué una creación de la mente humana como son las matemáticas son capaces  de explicar el mundo físico. La respuesta del autor es que las matemáticas también surgen del mundo físico y por ello son capaces de explicarlo.

Un par de problemas que se encuentran en este libro:
1.- Un joven tiene que elegir entre dos empresas, la primera le ofrece un sueldo anual de 18000 € al año y un incremento anual de 2000 € en los años siguientes.
La segunda le ofrece también 18000 € anuales con un incremento semestral de 500 € ¿Qué sueldo es mejor?

2.- Un frutero vende sus manzanas a 2 piezas por 50 cent. y sus naranjas a 3 piezas por 50 cent. Para no tener que hacer tantas cuentas, el frutero decide  vender 5 piezas de fruta por 1 € pensando que no gana ni pierde en el cambio. ¿Es así?

Estos dos problemas aparecen como ejemplos de que, a veces, nuestra intuición falla y hay que echar mano de las matemáticas, así que la respuesta no será lo que probablemente pienses en un primer momento.