Relojes con matemáticas

Desde muy antiguo, la humanidad ha dedicado al cómputo del paso del tiempo muchos esfuerzos, primero en la elaboración de calendarios para controlar y prever las estaciones. Posteriormente para medir el paso del tiempo a lo largo de un día inventó todo tipo de relojes: de sol, agua, arena, etc.

En estas dos fotos vemos un reloj de sol que mide las horas, pero también indica el mes del año.

Para la creación de calendarios y relojes la humanidad necesitó usar y desarrollar las matemáticas. Detrás de los relojes de sol hay mucha matemática y astronomía. Lo mismo puede decirse de los relojes de péndulo o los de los mecánicos. Y por supuesto, de los actuales relojes digitales.
En estos enlaces podéis leer más cosas sobre relojes:

• Historia de la relojería
• Tipos de relojes

Actualmente han aparecido relojes en los que las matemáticas están a la vista, aquí van algunos.
Estos contienen operaciones y ecuaciones

Este sólo contiene el número 9 tres veces en cada caso y operaciones ¡Muy original!

Estos también, pero con alguna expresión más complicada (logaritmos, trigonometría)

 

Este es de ángulos en radianes

Aquí uno de poliedros

 Las horas son raíces cuadradas

Este contiene números complejos 

Aquí van otros cuantos más

  

Guía manga del cálculo diferencial e integral

Algunos pensamos que las matemáticas son atractivas por si mismas, pero hay mucha gente  que no opina lo mismo y para hacérselas más llevaderas aparecen en el mercado libros, cómics, etc. para que vean su importancia. Este cómic es un intento por hacer entender y ver la importancia del cálculo. 

Introduce los conceptos del cálculo diferencial (derivada, límite, diferencial, integral...) de una forma muy intuitiva y muy diferente de como lo hacemos en clase o como aparece en los libros de texto. Pero creo que hay que estar un poco familiarizado con los conceptos para entenderlo. 

Lo mejor del cómic ha sido, para mi, los ejemplos donde aplica el cálculo, muchos de ellos sacados de la economía (el autor es del cómic es economista). Por ello creo que es interesante para que los alumnos de bachillerato entiendan la importancia del cálculo diferencial. Pero no creo que la guía les sirva para entender los propios conceptos.

El nivel de lo que se cuenta es de 2º de bachillerato, excepto la parte de polinomios de Taylor y las derivadas parciales.

En resumen, una manera curiosa de acercarse al cálculo, con buenos ejemplos y desde un punto de vista diferente al habitual.

Juegos de luz

Las propiedades de la luz permiten acercarnos a las matemáticas, de hecho algunas ideas matemáticas surgen de esas propiedades como la simetría por reflexión, proyecciones, etrc.
En esta primera foto, los rayos de luz al colarse por los agujeros crean una serie de lineas rectas que son la envolvente de una curva.

La foto siguiente es la imagen de la reflexión entre dos espejos que forman un ángulo recto.

En las dos fotos siguientes las sombras sobre objetos cotidianos crean bonitos efectos

Los rayos de luz que se cuelan por una ventana y que inciden en la pared son rectas paralelas

 Por último, en esta foto la luz encendida detrás de la celosía resalta la geometría de ésta.

El castillo de Coca

He estado visitando hace poco el castillo de Coca, es un castillo impresionante todo él de ladrillo. Para mí es uno de los más bellos de los que conozco. Sobre su historia pueden consultarse algunas webs.

• Artículo en wikipedia
• Página oficial

Pero a mí me gustaron la cantidad de matemáticas que hay dentro de sus muros.
En la llamada Sala de los Jarros hay una acústica especial, el guía decía que al colocarnos en el centro de la sala oiríamos muestra voz en estéreo, yo creo que es un caso de aplicación de las propiedades ópticas de las cónicas. Debido a la bóveda que sirve de techo y a su baja altura, en el centro nos situamos en el foco de la cónica (el techo) y al reflejarse el sonido en ella lo recibimos de nuevo desde todos los ángulos. La foto corresponde a la bóveda de dicha sala.

Esta foto corresponde al arranque de la bóveda de otra sala y está pintada con estos motivos con frisos

El suelo de una de las salas es un mosaico

Otro friso en las pinturas que decoran las salas

En el exterior también aparecen motivos matemáticos, los remates de las torrecillas que decoran los muros son mitades de conos o pirámides

Por último, una foto de una de las torres cilíndricas en la que aparecen unos arcos cruzados

Teorema de Tales o Thales

El motivo de esta entrada se debe al video que aparece a continuación. Conocía la canción de "Les Luthiers" sobre el teorema de Thales, pero no el vídeo que encontré por casualidad en una web.

El teorema de Tales (como se dice en el vídeo) afirma que si las rectas a, b, c (en rojo en la imagen) son paralelas y cortan a las rectas r, s (en negro) Entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales, es decir:

Este correspondería a lo que se denomina el primer teorema de Tales. Su demostración y un segundo teorema puedes encontrarlos en el este enlace.

Tales está considerado como el primer filósofo. Pero es, desde mi punto de vista, también el primer matemático porque creía que era necesario dar una explicación racional (demostración) basada en principios (axiomas) de los resultados obtenidos.

Matemáticas.. ¿estás ahí?

Un libro bastante interesante que contiene un poco de todo: comentarios curiosos sobre algunos aspectos de las matemáticas, teoremas y conjeturas famosos, resultados interesantes y poco intuitivos sobre probabilidad y estadística, problemas para resolver...A mi me ha gustado por las reflexiones que hace el autor sobre la enseñanza de las matemáticas, reflexiones que comparto en su mayor parte. 
De los problemas para resolver propongo el siguiente, lo copio tal y como aparece en el libro


Problema de las velas 

Éste es un problema para pensar. Y como siempre no hay trampa. No hay que resolverlo YA . Tómense un rato para leer el texto y si no se les ocurre la solución, no desesperen. Tener algo para pensar es una manera de disfrutar. La solución está en el apéndice de soluciones, pero les sugiero que no vayan corriendo a leerla.
En todo caso, el crédito le corresponde a Ileana Gigena, la sonidista del programa Científicos Industria Argentina. Una tarde, cuando me escuchó proponiendo cosas para pensar que yo dejaba planteadas al finalizar un programa y que terminaría resolviendo en el siguiente, salió de su cutícula y me dijo:
-Adrián, ¿conocés el problema de las velas?
-No -le dije-. ¿Cuál es?
Y me planteó lo siguiente para que pensara. Ahora, la comparto con ustedes:
Se tienen dos velas iguales, de manera tal que cada una tarda exactamente una hora en consumirse. Si uno tiene que medir quince minutos y no tiene cronómetro, ¿cómo tiene que hacer para aprovechar lo que sabe de las velas?
Ella me aclaró, además, que no se las puede cortar con un cuchillo ni se las puede marcar. Sólo se puede usar el encendedor y los datos que se tienen sobre cada vela. 

Voy a hacer un comentario sobre el problema, que también puede servir como pista para resolverlo: Cuando se dice que las velas duran exactamente una hora yo me imagino que las velas están situadas verticalmente y pienso que al situar una vela horizontalmente no dura lo mismo.

El código de Arquímedes

Arquímedes está considerado como uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Sin embargo sus obras escasean, sólo se conocen traducciones muy posteriores al latín o al árabe. A finales del siglo XIX apareció en Estambul un códice que contenía algunas obras de este matemático, algunas eran conocidas, pero entre ellas se encontraba "El método" un libro del que se tenían referencias, pero hasta entonces desconocido. En esta obra Arquímedes explicaba como había llegado a alguno de sus sorprendentes resultados sobre áreas y volúmenes por métodos físicos.
Este códice era un palimpsesto, es decir, un libro en pergamino en el que se habían borrado las obras de Arquímedes y se había escrito de nuevo con oraciones y ritos cristianos.
En 1906 el historiador de la ciencia danés J. L. Heiberg tuvo acceso al pergamino y consiguió leer y traducir "El método", después el códice desapareció hasta 1998 que fue subastado en Nueva York y fue adquirido por un millonario estadounidense.
El libro narra la historia del códice desde su creación hasta la actualidad y de la difícil lectura de las obras de Arquímedes usando las tecnologías más sofisticadas.
El libro es interesante, pero no solo por esta historia, sino porque permite hacernos una idea de como se investiga en los libros antiguos en busca de información sobre el pasado: que suposiciones se hacen, como se interpreta lo que se lee, que hipótesis se sugieren, etc.
Además, el libro contienen algunos resultados matemáticos que se han encontrado en el códice (algunos nuevos y otros ya conocidos) y los nuevos conocimientos que se han adquirido sobre los métodos de razonamiento que usaba Arquímedes.
Hay  una página oficial del palimpsesto. En ella se puede ver toda la historia del manuscrito, datos sobre Arquímedes, etc
En la parte negativa, decir que la traducción es muy mala, por poner unos ejemplos, traduce "curator" por curador en vez de conservador, El título en inglés es "The Archimedes Codex", es decir, "El códice de Arquímedes" ¿Por qué titularlo entonces "El código de Arquímedes"?