En los libros de divulgación de matemáticas que hablan de topología se suele decir que es la geometría de la "goma elástica". Con ello se hace referencia a que la topología estudia las propiedades geométricas de los objetos que no cambian al aplicarles una transformación continua. En este tipo de libros no se profundiza mucho en esta materia y no se dan más que unas cuantas ideas sobre objetos que son equivalentes topológicamente como un rectángulo (entendido como una línea) y una circunferencia, la superficie esférica con un globo en forma de hipopótamo o un toro(rosquilla) con una jarra con un asa.
Se suele comentar la fórmula de Euler sobre poliedros como un invariante que depende del espacio donde esté situado el poliedro. También suele aparecer el teorema de los cuatro colores (todo mapa puede colorearse con 4 colores como máximo teniendo en cuenta que regiones de frontera común deben tener colores diferentes)
Este libro también es de divulgación, pero está dedicado a la difícil tarea de hacer comprensible para el público en general una materia tan abstracta y compleja como la topología más allá de los resultados antes comentados. El libro trata de hacer comprensible la conjetura de Poincaré.
A través de una historia de la geometría en la que el autor se detiene en los hechos que tienen relevancia para el tema que trata, nos van apareciendo, conceptos, ideas, etc que desembocan en la explicación de la demostración de la conjetura llevada a cabo en 2003 por el matemático ruso G. Perelmann. Además el autor relaciona este resultado con la forma del universo a través de la teoría de la relatividad de Einstein.
El libro desde mi punto de vista consigue su objetivo aunque algunas partes son difíciles de entender y de imaginar.
Pero ¿qué dice la conjetura de Poincaré?
En nuestro espacio tridimensional en una esfera todo lazo hecho con una cuerda se puede cerrar hasta comprimirlo en un punto.
Esto no ocurre para otras superficies, por ejemplo en un flotador (matemáticamente un toro) esto no es posible
La conjetura se refiere a una esfera tridimensional (no es una esfera maciza) y afirma que si en una variedad tridimensional una trayectoria cerrada se puede comprimir a un punto es topólogicamente equivalente a una esfera tridimensional.
No es fácil imaginarse una esfera tridimensional o triesfera:
Una esfera unidimensional es la circunferencia, es cerrada y no tiene frontera (simplemente conexa) si la rellenamos tenemos un círculo (superficie), un círculo tiene frontera, si a esa frontera pegamos otra frontera de otro círculo tenemos una superficie cerrada y sin frontera: una esfera (superficie simplemente conexa). Si rellenamos la esfera (piensa en una bola de plastelina) tenemos un cuerpo (tres dimensiones) con frontera, si pegamos las fronteras de dos de estas bolas de plastelina tendríamos una triesfera que sólo podría estar en un espacio de cuatro dimensiones.
El agua deforma el fondo de la piscina, pero es una transformación continua, los mosaicos se deforman, pero su contorno sigue siendo cerrado.
