Cantor, Hilbert y Godel

"Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética, hablo del infinito"
Jorge Luis Borges  "Avatares de la tortuga"

El concepto de infinito es uno de los más problemáticos en matemáticas. Pero tratando de comprenderlo, los matemáticos han conseguido no sólo bellas teorías sino que han hecho avanzar las matemáticas.

¿Qué es el infinito?
Aristóteles pensaba que el infinito sólo existía en potencia, pero no en acto. Esto significa que cuando nos referimos, por ejemplo, a la secuencia de números naturales 1, 2, 3, 4, 5 , 6, ....... y decimos que es infinita nos referimos a que nunca acaba, que llegue a donde llegue escribiéndola siempre podré escribir otro número.  El infinito en acto sería decir que el conjunto de números naturales contiene infinitos números.
Galileo expuso la paradoja de que había tantos números naturales como números cuadrados, siendo éstos un subconjunto de los números naturales. basta con asignar a cada número su cuadrado:

1-----1

2-----4

3-----9

4-----16

5-----25

6-----36

............

En el siglo XVII Newton y Leibniz inventaron el cálculo diferencial e integral, pero enseguida fueron criticados por la falta de rigor de algunos razonamientos que involucraban lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. Como el cálculo era una potente herramienta que permitió resolver muchos problemas los matemáticos siguieron usándolo. Pero en el siglo XIX se vio la necesidad de fundamentar el cálculo sobre unas bases consistentes. Los matemáticos empezaron a fundamentar la matemática sobre la teoría de conjuntos lo que les permitió definir los conjuntos numéricos hasta los números reales de una forma rigurosa. Los trabajos de Cantor sobre el infinito pueden enmarcarse dentro de la teoría de conjuntos, de la que él es uno de los creadores y también dentro de la fundamentación cálculo diferencial. Cantor estudiando las series de Fourier llegó a la idea de que tenía que tratar con el infinito en acto.

Cuando se creía que la teoría de conjuntos y la lógica (logicismo) eran las bases de la matemática aparecieron paradojas en la teoría de conjuntos, esto junto con las ideas que surgieron de los trabajos de Cantor sobre el infinito echaron por tierra echaron por tierra al logicismo. Surgieron entonces dos vías para fundamentar la matemática el intuicionismo liderado por L. E. Brouwer que rechazaba el infinito en acto y que propugnaba que las demostraciones matemáticas debían ser constructivas, es decir, si se quería demostrar que algo existía, la demostración debía incluir su construcción.
Por otra parte surgió el formalismo liderado por Hilbert, que afirmaba que las matemáticas  eran como un juego en el que había unos elementos iniciales llamados axiomas que se manipulaban con un conjunto de reglas. Al contrario que los intuicionistas, los formalistas aceptaron los trabajos de Cantor. Hlibert afirmó : "Nadie podrá echarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros"
Los formalistas consiguieron fundamentar el cálculo y la geometría basándose en los axiomas de la aritmética y creían (Programa de Hilbert)  que se podría averiguar que con estos axiomas podrían demostrarse todas las verdades matemáticas (era un sistema completo) y que nunca se llegaría a demostrar una cosa y la contraria (consistencia). Hilbert resumía estas ideas en su famosa cita: "Debemos saber. Sabremos"

En 1931 un joven llamado Kurt Godel asistía en Konigsberg (la ciudad en la que nació Hilbert) a un congreso dedicado al la teoría de la demostración. Allí anunció su primer teorema de incompletitud que afirma que hay verdades aritméticas que no se pueden demostrar usando los axiomas de la aritmética y los métodos de demostración que Hilbert y los formalistas aceptaban. En un artículo de ese mismo año aparecía el segundo teorema de incompletitud que afirma que usando los axiomas de la aritmética no se puede demostrar su propia consistencia. De esta forma  echaba  por tierra el programa de Hilbert.

Todas estas ideas pueden leerse en los libros cuyas portadas aparecen en esta entrada y en el que comenté en la entrada sobre Hilbert. Todos ellos pertenecen a la colección "Grandes ideas de la ciencia"

Fotos del diario EL PAÍS