Prime obsession. Problema

Ya sabemos que los números irracionales son números decimales que tienen infinitas cifras, pero que no tienen periodo. Hay números irracionales que son trascendentes. Creo que los que aparecen en los siguientes problemas lo son.

El primero aparece en el libro que he comentado en la entrada anterior

En el número irracional 0,123456789101112131415..................
¿Qué cifra ocupa el lugar 100? ¿Y el lugar 1000? ¿Y el lugar 1000000?

En el número irracional 0,10100100010000100000..................
¿Qué lugar ocupan las cifras que van con 1?

Prime Obsession

El libro "Prime Obsession. Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics" de J. Derbyshire es un libro de divulgación (no está en español) que trata de explicar el significado de la hipótesis de Riemann.
La función   da el número de números primos que son menores que x. Por ejemplo



ya que hay 4 números primos menores que 10 (2, 3, 5, 7) y 9 números primos menores que 25 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Gauss y Legendre conjeturaron que

Que puede interpretarse como que la función  se aproxima a la expresión de la derecha a medida que x se hace muy grande. Este resultado se conoce como el teorema de los números primos y fue demostrado a finales del siglo XIX por J. Hadamard y C. de la Vallée Pousin.

Por otro lado, Riemann en un artículo de 1859 titulado "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada" estableció una relación entre la función  y otra función que desde entonces se denomina función z de Riemann:

Esta función también puede escribirse 

donde p recorre todos los números primos. 

En realidad esta función fue creada por Euler, que además, estableció la relación entre las dos expresiones, para él s era un número real. Riemann extendió la función al campo de los números complejos.

En dicho artículo Riemann encontró una relación entre  y la función z, se podía calcular cualquier valor de  a partir de una expresión en la que aparecian los ceros de la funcion z, es decir los valores de s para los que 

Riemann conjeturó que los ceros no triviales de la función z son números complejos cuya parte real es 1/2, esta es la famosa Hipótesis de Riemann, uno de los más importantes problemas no resueltos de matemáticas.

El libro va paso a paso introduciendo al lector en las matemáticas que se necesitan para para entender la hipótesis, aunque creo que se necesitan conocimientos más elevados que los de bachillerato para llegar a entender completamente bien los pasos que sigue el autor del libro.

Sólo la mitad de los capítulos (los impares) son de contenido matemático. Los capítulos pares están dedicados a comentar la vida y obra de los matemáticos que aparecen en el texto: Riemann, Gauss, Euler, Hilbert, etc.

Es un libro interesante porque permite ver claramente la importancia de la hipótesis de Riemann en la distribución de los números primos, algo que otros libros de divulgación mencionan, pero en los que esta relación no queda clara.

Cinco islas y diez itinerarios

Partiendo siempre de la misma isla ¿De cuántas formas diferentes puedo hacer los 10 rumbos indicados recorriendo cada uno de ellos una sola vez y visitando las cinco islas?

Las islas son los vértices del pentágono A, B, C, D. E. Las rutas son los segmentos o curvas dibujadas, ambas figuras son equivalentes.
Fotos tomadas de el diario EL PAIS

Sapiens. De animales a dioses

No suelo reseñar libros en este blog que no sean de física y matemáticas, pero creo que éste merecía la pena.Me refiero a "Sapiens. De animales a dioses" de Yuval Hoah Harari

Si ya es una osadía tratar de contar la historia de la humanidad en 450 páginas, más lo es la forma como lo hace el autor. Cito sus palabras (no textualmente)
Hace 13.500 millones de años surgió el big bang y surgió la Física. Unos 300.000 años después aparecieron los átomos y empezó la Química. Hace 3800 millones de años, en la Tierra, algunas moléculas formaron estructuras grandes y complejas llamadas organismos, así empezó la Biología. Hace 70.000 años unos organismos llamados homo sapiens empezaron a formar estructuras todavía mas complejas llamadas culturas y así empezó la Historia.
Desde un punto de vista novedoso en el que la Historia no es más que la continuación de una evolución que se remonta a la aparición de los seres vivos y en el que no existe una finalidad,  sino una continua evolución basada en la evolución de las especies.

En esta evolución hay tres hitos:

1. La revolución cognitiva que ocurrió hace 70.000 años
2. La revolución agrícola, hace unos 10.000 años
3. La revolución científica, hace unos 500 años.

El autor nos cuenta como surgió la agricultura y como las religiones, los mitos, el dinero... que no son más que ficciones inventadas por el homo sapiens tienen el poder unirnos en objetivos comunes. La revolución científica está consiguiendo que nos convirtamos en dioses capaces de crear otras criaturas y vencer a la muerte.
El libro es muy provocativo por los originales puntos de vista desde los que trata algunos temas. Por ejemplo el autor piensa que la revolución agrícola fue un trampa en la que caímos los humanos y de la que no hemos podido escapar o que desde un punto de vista genético no fue el hombre el que domesticó al trigo, sino al contrario.
Otras opiniones controvertidas pueden ser que el capitalismo o el comunismo son religiones, sin embargo, estas opiniones llevan siempre a reflexionar sobre ellas, es como si uno pensara "Pues es verdad, cómo no se me ha ocurrido" Por ello recomiendo leerlo, es muy ameno y fácil de leer

Fotos tomadas de el diario EL País

Problemas de verano

Unos cuantos sencillos problemas para entretenerse.

1.- ¿Para qué valores de n la expresión siguiente es un número entero?

2.- Resolver la ecuación

3.- Busca seis números impares a, b, c, d, e, f  que verifiquen

4.- Carmen y sus amigos están sentados alrededor de una mesa redonda. Observan que cada uno tiene a su izquierda y a su derecha  amigos del mismo sexo. Si hay 5 chicos ¿Cuántas chicas hay?

An imaginary tale. The story of i

 Los números imaginarios aparecieron por primera vez en matemáticas en el siglo XVI cuando los matemáticos estaban tratando de resolver ecuaciones de 3º y 4º grado. Matemáticos como Tartaglia, Cardano y, sobre todo, Rafael Bombelli se las vieron con las raíces cuadradas de los números negativos. pero fue este último el que dio un paso adelante trabajando por primera vez ellas, aunque sólo como pasos intermedios en los que el resultado final no era imaginario.
Sin embargo el autor se remonta a trabajos de matemáticos griegos en los que autores como Herón estuvieron muy cerca de descubrirlos.
Matemáticos importantes como Wallis y Descartes los rechazaron por absurdos y no fue hasta que se les dio una interpretación geométrica como vectores del plano y a sus sus operaciones como giros y traslaciones de esos vectores que no entraron de lleno en las matemáticas.
Desde ese momento los matemáticos los utilizaron en multitud de situaciones porque resolvían problemas que hasta entonces no habían podido. También entraron a formar parte de los cálculos de algunas ramas de física como el estudio de la corriente alterna.
Muchos cálculos que se realizaron con números complejos no eran completamente rigurosos, sobre todo los relacionados con el cálculo integral y no fue hasta el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja que elaboró Cauchy que se les dio el rigor requerido en matemáticas.
Todo esto es lo que cuenta este libro que es más que un libro de divulgación ya que contiene multitud de cálculos ( integrales, fórmulas, etc) que requieren un seguimiento exhaustivo por parte del lector. Pero si se quieren saltar puede hacerse quedándose sólo con la esencia del libro. La historia de como surgió el número i

de su introducción plena en las matemáticas y de la cantidad de problemas que simplifica o soluciona.

Fotos tomadas de Internet

Mathematics and the physical world

Otro libro de Morris Kline en la frontera entre la física y las matemáticas. Después de varios capítulos en los que  explica como es el razonamiento matemático, es decir, como se demuestran las verdades matemáticas, el autor pasa a explicar como funcionan las matemáticas en la física. Como, a partir de unos cuantos principios físicos y el  razonamiento matemático, se pueden descubrir otras verdades físicas que no habíamos observado. Poniendo ejemplos que van de Galileo, pasando por Newton y llegando a las leyes del electromagnetismo de Maxwell, Morris Kline nos va mostrando descubrimientos físicos que no se podrían haber hecho sin la ayuda de las matemáticas. El más elocuente es el descubrimiento de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Los temas finales están dedicados al descubrimiento y desarrollo del cálculo diferencial e integral y a explicar como las ecuaciones diferenciales son el recurso más poderoso para descubrir verdades en física.
Este libro es de temática parecida a otros del autor, pero es original en el sentido de trata de explicar como ayudan las matemáticas a los descubrimientos del mundo físico.
Las matemáticas son la herramienta  que usan los físicos para descubrir los aspectos ocultos de la naturaleza, sólo después de estos descubrimientos "matemáticos" los físicos experimentales tratan de comprobar si lo descubierto es cierto o no preparando cada vez más complicados y caros experimentos. Sólo después de ellos una teoría física elaborada a partir de las matemáticas es aceptada como válida o no.
El libro termina explicando el motivo por el que las matemáticas funcionan, por qué una creación de la mente humana como son las matemáticas son capaces  de explicar el mundo físico. La respuesta del autor es que las matemáticas también surgen del mundo físico y por ello son capaces de explicarlo.

Un par de problemas que se encuentran en este libro:
1.- Un joven tiene que elegir entre dos empresas, la primera le ofrece un sueldo anual de 18000 € al año y un incremento anual de 2000 € en los años siguientes.
La segunda le ofrece también 18000 € anuales con un incremento semestral de 500 € ¿Qué sueldo es mejor?

2.- Un frutero vende sus manzanas a 2 piezas por 50 cent. y sus naranjas a 3 piezas por 50 cent. Para no tener que hacer tantas cuentas, el frutero decide  vender 5 piezas de fruta por 1 € pensando que no gana ni pierde en el cambio. ¿Es así?

Estos dos problemas aparecen como ejemplos de que, a veces, nuestra intuición falla y hay que echar mano de las matemáticas, así que la respuesta no será lo que probablemente pienses en un primer momento.