Áreas y perímetros

En un polígono regular ¿Cuánto debe medir el lado para que el valor del área coincida con el del perímetro?

En el caso del triángulo equilátero

Si ambos valen lo mismo

y, por lo tanto 

Para el cuadrado es aún mas sencillo

¿Y para los demás polígonos?

Un problema de "El contable hindú"

En la entrada anterior publiqué una reseña del libro "EL CONTABLE HINDÚ". En una de sus páginas aparece este problema que copio literalmente:

"El otro día estuve hablando con un caballero - les dijo William Rogers a los otros vecinos del pueblo congregados en torno al fuego- de un sitio llamado Lovaina, que los alemanes habían quemado por completo. Decía que lo conocía bien, que solía ir a visitar a un amigo belga que vivía allí. Me contó que la casa de su amigo estaba en una calle larga, numerada de ese lado, uno, dos, tres, etc, y que todos los números que quedaban antes que el suyo sumaban exactamente lo mismo que los que quedaban después. Curioso, ¿no? Decía que sabía que había más de cincuenta casas a ese lado de la calle, pero que no llegaban a quinientas: Le he comentado el asunto a nuestro párroco, y ha cogido un lápiz y averiguado el número de la casa donde vivía el belga. Pero no se como lo ha hecho."

En el libro viene la solución, pero si no se imponen las condiciones que haya más de 50 casa y menos de 500 se obtienen otras ¿Eres capaz de averiguar tanto la del libro como otras?

Todas las fotos son de un álbum público de Picasa, publicadas sin ánimo de lucro, sólo como ilustración de la entrada.

El contable hindú

Por otras entradas del blog ya sabéis de mi afición a las novelas que contienen matemáticas, esta es otra de ellas. El título hace referencia a S. Ramanujan, un enigmático personaje, matemático autodidacta que descubrió por su cuenta algunos resultados ya conocidos y otros nuevos sobre series infinitas. Fue llevado a la Universidad de Cambrigde por el famoso matemático G. H. Hardy para que trabajara con él en teoría de números. Pero el libro no se centra en la figura del matemático indio (cuenta pocas cosas de él) sino en la de Hardy. Y a través de él vamos conociendo como era el ambiente intelectual a primeros del siglo XX en el Trinity College de la Universidad de Cambrigde. Aparecen personajes tan relevantes como  J. M. Keynes, Bertrand Rusell, Wittgenstein o Litlewood ( matemático y colaborador de Hardy en varios trabajos).
La novela nos introduce en sus vidas privadas (muchos de ellos eran homosexuales), sus relaciones sociales y su posicionamiento ante la Primera Guerra Mundial que se estaba desarrollando en ese momento.
Lo que mejor trata el autor es todo este ambiente en el que se mueven los personajes, sus posturas ante la guerra, sus relaciones, sus miserias, etc. Me ha gustado este ambiente decadente de de un imperio que está a punto de dejar de serlo.

De Ramanujan se habla poco, casi siempre a través de las opiniones de otros personajes. Su figura y su obra quedan desdibujadas en la novela, aunque se intuye que es una persona que se encuentra en este ambiente como un pez fuera del agua.
No hay muchas matemáticas en la obra, pero se pueden ver algunas fórmulas creadas por Ramanujan y se hace referencia a términos matemáticos como la hipótesis de Rieman que el autor trata de explicar para el público en general.

Un triángulo seccionado

En el triángulo ABC de la figura se han trazado nueve segmentos paralelos al lado AB, todos ellos a la misma distancia entre ellos y con AB hasta cortar a los otros dos lados. Si el área del trozo AA'BB' es de 38 centímetros cuadrados ¿Cuál es el área de l triángulo ABC?

 Foto de Chema Madoz, un fotógrafo que es capaz de fotografiar la poesía de los objetos

Foto del puente de Brooklyn

Animales del desierto y extraterrestres mentirosos

Estos dos problemas están sacados de la XXI Olimpiada Matemática organizada por la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas "Emma Castelnuovo" para alumnos de 2º de la ESO

1.- En un desierto hay serpientes, ratones y alacranes. Cada mañana cada serpiente se come un ratón, cada mediodía  cada alacrán mata una serpiente y cada noche, cada ratón se come a un alacrán. Si después de cinco días queda solamente un ratón ¿Cuántos ratones había al inicio?

2.- Paseando por la nave INAX-314, Tauri se encuentra con sus 3 amigos, Amón , que es el mayor de tres hermanos, Alf y Austi. Según comienza el día, cada uno decide si ese día se dicará a mentir o a decir la verdad.
Al cruzarse con ellos:
A dice: "Yo soy Alf. Soy el mayor de los tres"
B contesta: "Estás mintiendo yo soy Alf"
C concluye "Alf soy yo"
¿Cuál de los tres es Amon?

Matemáticas y Camino de Santiago

Lo primero que debo decir es que el título de este libro es una excusa para hablarnos de algunos aspectos de las matemáticas que podrían estar igualmente en otros libros. Sólo tangencialmente tienen que ver con la ruta jacobea.
Pero, desde mi punto de vista, esto es lo que hace interesante el libro, ya que habla sobre medidas de longitud, capacidad y peso antiguas. Medidas que se usaban en la Edad Media y se han seguido usando hasta la introducción del Sistema Métrico Decimal, en el siglo XIX.
El libro también explica las medidas de tiempo, como se distribuían las horas a lo largo del día y como se hicieron las reformas juliana y gregoriana de nuestro calendario.Otra aportación que me ha parecido interesante, ha sido la explicación de la introducción del sistema numérico actual (indoarábigo) en Europa y las personas que lo hicieron posible.
La parte inicial en el que se hace una estadística a partir de los datos de los peregrinos, como los meses de más afluencia, la distribución por edades o profesiones me ha parecido de poco interés y no muy bien tratada.
También me hubiera gustado que incluyera más datos e imágenes sobre aspectos geométricos de edificios encontrados en el camino (frisos, rosetones, simetrías, polígonos, poliedros,...)

Cartel en el puerto de Roncesvalles.

En resumen: No es un libro que aporte nada a los viajeros que quieran iniciar el Camino de Santiago, pero es una buena introducción a algunos aspectos matemáticos y culturales (pesos y medidas antiguas, calendarios, sistema numérico...), en este sentido puede servirte de introducción a ellos.

Simetría del Puente de Puente la Reina

Aparecen en el libro dos problemas que la autora afirma que aparecen en un libro de Alcuino de York (735-804) titulado "Para desarrollar el ingenio de los jóvenes".
Los propongo aquí tal como aparecen en el libro ¿Te atreves con ellos?

Iglesia de San Martín de Frómista

1.- Un hombre, cuya esposa está a punto de dar a luz, muere dejando en su testamento las siguientes instrucciones: si nace un varón éste heredará 2/3 de la herencia y la madre el 1/3 restante, si nace una hija ésta heredará 1/3 y la viuda 2/3 de la herencia. Nacen mellizos de sexo distinto ¿Cómo debe repartirse la herencia?

La catedral de Santiago

2.- Se reparten 100 kg de trigo entre 100 personas. Los hombres reciben tres, las mujeres dos y los niños medio ¿Cuántos hombres y mujeres había?

Bonita foto matemática de la catedral de Santiago

Románico y matemáticas

La arquitectura no sería posible sin las matemáticas, están presentes en el diseño de la estructura de los edificios impidiendo que se derrumben. La geometría está presente en el diseño de su forma consiguiendo que los edificios sean armoniosos y bellos. La belleza de los edificios se consigue con el uso de líneas, superficies y volúmenes originales.
En esta entrada me voy a referir sólo a la decoración arquitectura románica que juega con la simetría para conseguir esa decoración tan característica

Armoniosa ermita románica de Nuestra Señora de las Vegas en la provincia de Segovia

Perfecta simetría de la fachada de la colegiata de Notre Dame en Poitiers

Las arquivoltas que rodean el tímpano se forman por la repetición de sencillos modelos geométricos. Desde un punto de vista matemático estos no son frisos, sino rosetones porque se forman al girar la figura geométrica respecto al centro de la circunferencia que forman. En realidad son medios rosetones. 

Ermita de Nuestra Señora de las Vegas, en la provincia de Segovia

Rosetón completo y arquivoltas en una iglesia de Zamora

Arquivoltas de la puerta del obispo de la catedral de Zamora.

Simetría de la ventana del monasterio de San Martín de Castañeda (Zamora)

Arcos del claustro de San Juan de Duero que se forman al entrelazarse dos curvas

Columnas entrelazadas del Claustro de la Basílica de San Paolo en Roma 

Columna con decoración geométrica y vegetal en el Claustro de san Andrés del Arroyo en la provincia de Palencia

Capitel en La Puebla de Sanabria con una curva entrelazada

Friso formado por la repetición de cuadrados y huecos en San Martín de Frómista

Un reloj de Sol en le ermita de San Frutos, en la provincia de Segovia

Por último mi favorita, rosetón de la ermita románica del cañón del río Lobos (Soria). Una curva se entrelaza para formar una estrella de cinco puntas (símbolo pitagórico) y pequeños arcos en los bordes.