Cúpulas

Cúpula de una oficina de banco en Edimburgo

Cúpula de The Dome (una cafetería y restaurante), también en Edimburgo

Cúpula del cimborrio de la catedral de Zamora

Cúpula de la iglesia de la Universidad laboral de Zamora

The ascent of gravity

Este es un libro de divulgación de física que está escrito para todo el mundo, es decir, que todo lector es capaz de entender lo que el autor nos quiere contar, pero a la vez es un libro profundo en el sentido que no nos cuenta obviedades.
El libro es una historia del descubrimiento y estudio de la fuerza gravitatoria, la más débil de las fuerzas fundamentales de la física, pero la que más sentimos los humanos y la que tiene un efecto a mayor escala puesto que abarca todo el universo conocido.
Es la primera fuerza que los seres humanos empezaron a estudiar, pero la mas misteriosa de las fuerzas fundamentales y, por ello, de la que menos sabemos
Los primeros capítulos están dedicados a Newton, el físico que descubrió la fuerza de la gravedad y que afirmó que la fuerza que hacía que una piedra lanzada hacia arriba, volviera al suelo y la fuerza que hacía girar los planetas alrededor del sol era la misma.
Marcus Chow nos cuenta como usando las leyes de Newton se pueden explicar las mareas y lo hace de una forma fácil y entendible por todo el mundo y sin usar un lenguaje técnico. También nos cuenta la historia del físico francés Le Verrier. que estudiando las irregularidades de la órbita del planeta Urano  afirmó que debería haber un planeta más exterior y calculó su posición, un astrónomo apuntó el telescopio a esa posición y descubrió el planeta Neptuno.

Pero  leyes de la gravedad de Newton no podían explicar algunos resultados como la precesión de los equinoccios del planeta Mercurio ni ciertas singularidades de las ecuaciones.
Los siguientes capítulos están dedicados a Einstein, el descubrimiento de la relatividad especial (como se mueve la luz en sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante) le llevó más de 10 años después a la teoría de la relatividad general, una teoría del campo gravitatorio. Einstein convirtió la gravedad en geometría en un espacio cuatridimensional. Esta nueva teoría de la que la teoría de Newton es una aproximación, predecía que la luz se curvaría al pasar cerca de un cuerpo muy masivo como una estrella, y , en efecto se midió esta curvatura durante un eclipse de sol. Además, solucionaba el error al medir la precesión de los equinoccios de Mercurio.
Pero en las propias ecuaciones de Einstein se encontraba la semilla de su propia destrucción porque no hacía frente a ciertas singularidades matemáticas de las ecuaciones (divisiones por cero) ello está trelacionado con los agujeros negros y con lo que ocurre en distancias muy pequeñas donde entra en juego la física cuántica.
Hoy se sabe que la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica son incompatibles, que la relatividad es una aproximación de otra teoría más amplia que no conocemos.

Como mencioné al principio este es un libro muy interesante y fácil de leer con el que conseguimos una visión general del campo gravitatrio, de lo que conocemos y de lo mucho que nos queda por saber.

A most elegant equation

El título del libro hace referencia a la famosa fórmula de Euler

El libro trata de explicar cada uno de los números que aparecen en la fórmula, dedicándose principalmente al número e y al número i. También, aunque en menor medida, al resto de ellos. Posteriormente, nos introduce algo de trigonometría , que necesita para llegar a la fórmula más general

a partir de los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno.
El último capítulo es una reflexión sobre lo que es bello o no en matemáticas. En resumen, es un libro interesante para aquellos que no conozcan nada sobre esta famosa fórmula, pero que no aporta nada más.
Acabo con un problema de matemáticas recreativas:

Si un jugador de baloncesto empieza un partido habiendo marcado 2 de 5 triples tiene un porcentaje de aciertos del 40%, si el siguiente tiro triple lo marca, su porcentaje de aciertos sube al 50% (3 encestes de 6 intentos). Es decir, se pasa del 40 al 50% en un sólo lanzamiento. La pregunta es la siguiente, si este mismo jugador empieza un partido con un porcentaje de aciertos en los triples inferior al 75% y durante el partido este porcentaje es superior al 75% ¿En algún momento del partido tendrá exactamente el 75% o como en el ejemplo inicial puede pasar de una situación a la otra sin pasar por el 75% exacto?

Viaje a Alemania

He pasado unos días en Alemania, en Magdeburgo donde en 1656 el científico Otto von Guericke  mostró en el experimento de "Los hemisferios de Magdeburgo" el poder de la bomba de vacío que había inventado y, a la vez, el concepto de presión atmosférica.

En esta ciudad existen varias calles con nombres de científicos

Delante de la fachada de la catedral hay un bonito laberinto

Otra ciudad que visitamos fue Brunswick, la ciudad en la que nacieron Gauss y Richard Dedekind, en un parque hay una estatua de Gauss, el contorno alrededor del pedestal de la estatua dibuja la curva de la distribución normal (Campana de Gauss)

En la catedral hay un bonito reloj de sol y las tapas de las alcantarillas tienen un dibujo de un león, el símbolo de la ciudad.

How not to be wrong

El subtítulo de este libro es las matemáticas ocultas de la vida diaria y de eso es de lo que nos habla  J. Ellenberg,el autor del libro y lo que nos cuenta es lo mal que usamos habitualmente las matemáticas. A través de ejemplos sacados principalmente de  la estadística el autor va indicando todos los conceptos que usamos mal.
El libro se divide en cinco partes la primera se denomina "Linearity" y está dedicada a fenómenos que son lineales, o más bien, a tratar de esclarecer aquellas ideas que interpretamos como lineales pero que no lo son o lo son sólo parcialmente.
La segunda parte llama "Inference" y está dedicada a la inferencia estadística, más concretamente a explicar lo que significan los contrastes de hipótesis o lo que queremos decir cuando hablamos de que tal dato es correcto con una confianza del 95% por ejemplo.
En la tercera parte de título "Expectation" el autor desgrana el significado del concepto de valor esperado y lo aplica al juego de la lotería y como ciertas loterías permitían ganar dinero a los apostadores debido a que el valor esperado era alto.
Por último la parte final "Regession" que se dedica a aclarar los conceptos de correlación entre magnitudes y regresión: dos magnitudes pueden estar relacionadas y  puede no haber relación entre ellas o no saber si A es consecuencia de B o B de A. El concepto de regresión que surgió de forma negativa entre algunos investigadores que pensaban que la humanidad iba hacia una mediocridad cada vez mayor es explicado por el autor.
Además hay capítulos dedicados a otros temas de matemáticas como geometría, cálculo, sumas infinitas que aclaran conceptos que el autor tratará más adelante.
Es un libro muy bien escrito, ameno y fácil de leer para cualquier persona con conocimientos básicos de matemáticas. Es además muy interesante porque toca temas que todos conocemos bien, por ejemplo cómo ganar a la lotería, el uso correcto o incorrecto de estudios estadísticos con conclusiones que son falsas o mal interpretadas.
Por último quiero terminar con una cita del libro que me ha parecido particularmente interesante sobre el quehacer matemático, dice así:

"Every mathematician creates new things, some big, some small. All mathematical writing is creative writing. And the entities we can create mathematically are subject to no physical limits; they can be finite, they can be  realizable in our observable universe or not. This sometimes leads outsiders to think of mathematicians as voyagers in a psychedelic realm of dangerous mental fire, staring straight at visions that would drive lesser being mad, sometimes indeed being driven mad themselves.It's not like that, as we've seen. Mathematician aren't crazy, and we aren't aliens, and we aren't mystics.What´s true is that the sensation of mathematical understanding -of suddenly knowing what's is going on, whit total certainty, all the way to the bottom-is a special thing, attainable in a few if any other places in life. You feel you've reached into the universe's guts and put your hand on the wire. It's hard to describe to people who haven't experienced it."

Radicales continuos

Al igual que las fracciones continuas los radicales continuos o anidados son una fuente de sorpresas matemáticas. He encontrado estos en una página de matemáticas que contiene interesantes problemas que se llama "mind your decisions" las soluciones las puedes encontrar en dicha web junto con otros muchos desafíos.
Aquí van unos cuantos
El primero es sencillo, su valor es 100 ¿Podrías averiguar por que ?

El segundo es similar pero con una raíz enésima su valor es

Aquí va otro

 Su valor es

Otro problema más de esta web, este mucho más fácil, pero cuidado con la prioridad de las operaciones.

Calculating the Cosmos

el título completo del libro es "Calculando el cosmos. Cómo las matemáticas desvelan el Universo"
Y eso es lo que hace Ian Stewart.
En los primeros capítulos estudia el Sistema Solar, respondiendo a preguntas como ¿Cómo se formó? ¿Por qué los planetas tienen diferente composición química? ¿Cómo se formó la luna? ¿Es estable el Sistema Solar? Por qué los anillos de Saturno tienen zonas donde no hay partículas? Etc.
Después abarca nuestra galaxia y las galaxias próximas ¿Por qué tienen forma de espiral? ¿Existen otras formas? ¿Cómo calculamos la distancia a ellas?
Finaliza el libro con las últimas teorías sobre el Universo ¿Existió el Big Bang? ¿Qué son la materia y la energía oscura? ¿Existen los llamados multiversos?
Aunque es un libro de divulgación se requieren ciertos conocimientos de matemáticas y física para poder leerlo bien. Pero en este caso es un libro magnífico  porque, sin un tratamiento matemático profundo, podemos ver, por ejemplo,  la complejidad del estudio de un sistema formado por una estrella y varios planetas que giran a su alrededor, y eso que sólo utiliza las leyes de Newton (nada de relatividad general) y lo mismo ocurre cuando se quiere explicar cómo se formó la luna o por qué la galaxia tiene forma de espiral.

Existe traducción al castellano "Las matemáticas del cosmos"

Fotos del telescopio Hubble y del diario El País