Un triángulo equilátero y tres cuadrados

Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero de 10 cm de lado se construye un cuadrado como en la figura ¿Cuál es la distancia entre los vértices E y H ?

Este problema está sacado de los propuestos para 3º y 4º ESO en el concurso intercentros de matemáticas del año 2013 que organizan la Sociedad Matemática Puig Adam y la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense

Demasiada Felicidad. Sofía Kowalevsky

Vi expuestos los libros de Alice Munro el la librería a la que voy normalmente al poco de concederle el Premio Nobel de Literatura. Me llamaron la atención las portadas de los libros y estuve leyendo algunas reseñas de las contraportadas, allí me enteré de que casi toda su obra son cuentos. No pensaba comprar ninguno, pero en el que lleva por título "Demasiada Felicidad" vi que , precisamente el cuento con ese título trataba sobre la matemática Sofía Kowalevsky y lo compré. Lo leí a los pocos días y me gustó así que leí el resto de los cuentos y la verdad es que son magníficos. Son cuentos protagonizados por personas aparentemente normales, pero en ellos siempre hay algo oscuro, lúgubre.. la mayoría son bastante duros.
El cuento sobre la vida de Sofía comienza con una cita de ella:

"Muchas personas que no han estudiado matemáticas las confunden con la aritmética y las consideran una ciencia seca y árida. Lo cierto es que esta ciencia requiere mucha imaginación"

La lectura de este cuento me llevó a profundizar en la vida de Sofía Kowalevsky y leí el libro de Xaro Nomdedeu "Sofía. La lucha por saber de una mujer rusa" de la editorial Nivola.

Este libro se centra más en el aspecto profesional que en el personal aunque aparecen muchos datos personales que había leído en el cuento. Sobre todo se hace referencia a las dificultades de las mujeres para acceder a estudios superiores en Rusia y en general en toda Europa en la segunda mitad del siglo XIX.

El libro trata también la complicada situación social rusa en esos momentos que fue el caldo de cultivo de distintos movimientos sociales en los que Sofía estuvo involucrada y que desembocaría pocos años después (1917) en la llamada Revolución Rusa y la llegada del Comunismo.

Sofía fue una mujer con un tesón increíble. Se las ingenió para estudiar, a veces por su cuenta y cuando en Rusia no pudo adquirir nuevos conocimientos se fue al extranjero, aunque para ello tuvo que concertar un matrimonio de conveniencia con Vladimir Kowalevsky ya que las mujeres no podían salir solas del país. Trabajó con Weierstrass en Berlin y publicó varios trabajos de investigación con los que consiguió el doctorado.

Pese a su prestigio profesional no podía dar clases en ninguna universidad de Europa porque las mujeres lo tenían prohibido. Al final consiguió una plaza en en la Universidad de Estocolmo gracias a la ayuda del matemático sueco Mittag-Leffler, pero con un sueldo bastante inferior al de sus compañeros varones.

En lo personal tampoco tuvo mucha suerte. recompuso su matrimonio con Vladimir y llegó a ser un matrimonio normal, pero invirtieron la considerable herencia del padre de Sofía en negocios ruinosos. Poco después moría Vladimir y Sofía se quedó  sola con su hija. Le fue difícil compaginar la vida familiar y la profesional (problema todavía no resuelto en la actualidad para madres trabajadoras).

Sofía pudo haberse casado después, ya que tuvo varios pretendientes, pero la mentalidad de la época exigía que la mujer dejara de trabajar  y ella no estaba dispuesta a eso.

Termino con la última frase del libro:

"Sofía es un ejemplo de como el tesón, la constancia y el deseo de demostrar su capacidad han vencido todas las barreras que se le ponían por delante sólo por su condición de mujer"

GOOGLE y las matemáticas

Esta historia está sacada del libro “Matemática, ¿Estás ahí? II” de Adrián Paenza y refleja la importancia que las empresas tecnológicas dan a las matemáticas y al razonamiento lógico.

En el caso de GOOGLE se ve en los doodles que dedica a las matemáticas o a la ciencia, aquí aparecen algunos de elllos.

El autor del libro se encontraba en Boston y vio en la estación de metro correspondiente a la Universidad de Harvard un cartel publicitario con el siguiente mensaje:

(primer primo de diez dígitos consecutivos del desarrollo de e).com

No había nada más.

El número e es similar al número p,es irracional como él (tiene infinitas cifras decimales y no tiene periodo) y trascendente (no es solución de ninguna ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números racionales).

El número e aparece cuando se habla de crecimiento exponencial, está presente en los logaritmos y en los problemas de interés compuesto.

El autor le contó a un amigo lo que había visto, éste consultó la siguiente página que contiene el primer millón de cifras decimales del número e.

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil

Encontró el primer número primo de 10 dígitos consecutivos de e:

7427466391 (el primer 7 es la cifra decimal que ocupa el lugar 99 en el desarrollo de e)

Se dirigió a la web http://www.7427466391.com

y apareció lo siguiente:

f(1)=7182818284

f(2)=8182845904

f(3)=8747135266

f(4)=7427466391

f(5)=__________

Para continuar debía averiguar f(5) ¿Pero cómo?

Se dio cuenta que la suma de los 10 dígitos que aparecían en cada caso sumaban todos lo mismo: 49, pero observó más cosas. Como tenía el desarrollo decimal del número e se dio cuenta de lo siguiente:

f(1) son los 10 primeros decimales de e

f(2) son los números decimales de e del 5º al 14º

f(3) son los decimales de e del 23º al 32º

f(4) son los decimales de e del 99 al 108 (es la tira del primer primo de 10 dígitos)

Siguió buscando tiras de dígitos que sumaran 49 y encontró la siguiente entre las cifras 127 a la 136:

5966290435

Al colocarlos a continuación de f(5)= y pulsar la tecla ENTER apareció esta página web:

http://www.google.com/lagjobs/index.html

Allí invitaban a enviar el currículo a la empresa GOOGLE donde sería tenido en cuenta para un futuro trabajo, ya que la persona que hubiera llegado hasta aquí había sido capaz de resolver un problema de la suficiente dificultad para merecer pertenecer a esta compañía.

La culebra

Un día mataron una culebra en una de las tenadas del pueblo, la gente decía que había entrado a mamar a las ovejas porque a las culebras les gusta mucho la leche. Levantan la cabeza hasta llegar a la ubre y, entonces, con mucho cuidado comienzan a succionar hasta saciarse.
Una noche de verano, al fresco, comentábamos este hecho, yo decía que era imposible, una culebra no tiene la lengua preparada para succionar de una teta. Una vecina, sin embargo, lo creía a pies juntillas y para corroborarlo nos contó lo que sigue, le había pasado a su madre o a otro familiar cercano (no recuerdo bien).
El caso es que esta señora tenía un niño al que amamantaba y cuando iba a darle el pecho por la tarde no tenía leche, así un día tras otro hasta que decidieron investigar qué pasaba. Mientras esta señora dormía la siesta, otra persona se iba a quedar con ella en la misma habitación vigilando.Esto fue lo que vio:
Una culebra ascendía por el canalón hasta la ventana de la habitación que estaba abierta por el calor, se deslizaba hasta la cama y, sigilosamente, se acomodaba entre la madre y el niño que dormía con ella, cogía el pezón y se ponía a mamar. Para que el niño no se despertara metía la punta de la cola en su boca a modo de chupete. Cuando terminaba bajaba de la cama y se iba por donde había venido.

Amigos que comen pizzas

Un grupo de amigos ha ido a comer a una pizzería y han elegido tres tipos de pizza, A, B y C. Cada uno ha comido 1/2 de A, 1/3 de B y 1/4 de C, han pedido en total 17 pizzas y no ha sobrado ninguna entera ¿Cuántos amigos son y cuántas pizzas de cada tipo pidieron? (Sacado del libro de 3º ESO de Anaya)

Amigos pesados

Cuatro amigos se pesan por parejas y anotan los pesos que son: 83 kg, 87 kg, 91 kg, 88 kg, 84 kg, 80 kg, sabiendo que el más grande pesa 46 kg ¿Cuánto pesan los demás?
(sacado del libro de 1º ESO de Anaya)

Fotos de álbumes públicos de Picasa

Ruedas con simetría hexagonal

Publiqué otra entrada de ruedas con simetría pentagonal como ejemplos de rosetones, en este caso las ruedas tienen simetría hexagonal, es decir que si giramos la rueda 60º, 120º, 180º, 240º, 300º 0 360º parece que no se ha movido.
También puede interpretarse la figura como una parte mínima que al girar esos ángulos va recubriendo la rueda (polígono). Esta figura mínima puede ser simétrica o no.

Ruedas en las que la parte mínima no es simétrica

Ruedas en las que la parte mínima es simétrica

Problemas de balanzas

Tenemos 12 monedas, una de ellas es defectuosa y no pesa lo mismo que las otras (no sabemos si pesa más o menos). Disponemos de una balanza de platos (esta balanza sólo sirve para saber si lo que colocamos en un platillo pesa más o menos que lo que colocamos en el otro). Se trata de averiguar en tres pesadas cuál es la moneda defectuosa.

Este problema que he sacado del libro "Matemáticas ¿está ahí? II" de Adrián Paenza no es fácil. Por ello antes de abordarlo propongo otros dos más asequibles

1.- Disponemos de 8 monedas, una de ellas es defectuosa y no pesa lo mismo que las otras. Disponemos de una balanza de platos y hay que averiguar en tres pesadas la moneda defectuosa.
El problema es similar al anterior, sólo que con 8 monedas.

2.- Disponemos de 12 monedas, una de ellas es defectuosa y pesa menos que las otras (lo mismo sería si pesase más). Se trata de averiguar en tres pesadas en una balanza de platos qué moneda es la defectuosa.
Este problema es similar al primero, pero nos dan un dato adicional, que la moneda defectuosa pesa menos.

 Fotos públicas de álbumes web de Picasa

La historia de las ecuaciones

Un libro muy interesante que abarca la historia de la resolución de las ecuaciones algebraicas desde las primeras civilizaciones (egipcios, sumerios) pasando por los árabes e italianos del Renacimiento hasta la teoría de Galois.
El libro contiene muchas matemáticas, se lee bien hasta llegar a la teoría de Galois que se hace un poco denso. El libro se recomienda a partir de los 16 años, pero creo que una parte de las matemáticas que contiene se salen de los contenidos del actual bachillerato. No obstante es un libro muy recomendable para todos aquellos que estén interesados en la historia de esta parte de las matemáticas.  El autor ha tratado de facilitar las explicaciones y en muchos casos se apoya en ejemplos.
Podréis leer como resolvían las ecuaciones los egipcios y babilónicos, las aportaciones  que hicieron los antiguos griegos, indios y chinos y los avances de la civilización árabe.
Nos enteraremos de la polémica surgida entre los algebristas del Renacimiento italiano Tartaglia y Cardano sobre la paternidad de la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado y quién resolvió la ecuación de cuarto grado.
Veremos como los avances que se hicieron durante los siglos XVII y XVIII, sobre todo por parte de Lagrange fueron fundamentales para la resolución final del problema.
Leeremos como Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra y qué polígonos se pueden construir con regla y compás y la relación entre los tres problemas clásicos (cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo) con la resolución de ecuaciones.
Conoceremos la teoría de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones algebraicas, para ello tuvo que idear conceptos  que ahora son muy importantes en el álgebra moderna como son las estructuras de grupo y de cuerpo.
No se habla mucho de otra figura importante como es Abel que demostró la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado por radicales (esto significa que no puede haber ninguna fórmula como la que existe por ejemplo para resolver las ecuaciones de segundo grado que nos de las soluciones haciendo operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y obtención de raíces)

Fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado

La conjetura de Poincaré. En busca de la forma del universo

En los libros de divulgación de matemáticas que hablan de topología se suele decir que es la geometría de la "goma elástica". Con ello se hace referencia a que la topología estudia las propiedades geométricas de los objetos que no cambian al aplicarles una transformación continua. En este tipo de libros no se profundiza mucho en esta materia y no se dan más que unas cuantas ideas sobre objetos que son equivalentes topológicamente como un rectángulo (entendido como una línea) y una circunferencia, la superficie esférica con un globo en forma de hipopótamo o un toro(rosquilla) con una jarra con un asa.
Se suele comentar la fórmula de Euler sobre poliedros como un invariante que depende del espacio donde esté situado el poliedro. También suele aparecer el teorema de los cuatro colores (todo mapa puede colorearse con 4 colores como máximo teniendo en cuenta que regiones de frontera común deben tener colores diferentes)
Este libro también es de divulgación, pero está dedicado a la difícil tarea de hacer comprensible para el público en general una materia tan abstracta y compleja como la topología más allá de los resultados antes comentados. El libro trata de hacer comprensible la conjetura de Poincaré.
A través de una historia de la geometría en la que el autor se detiene en los hechos que tienen relevancia para el tema que trata, nos van apareciendo, conceptos, ideas, etc que desembocan en la explicación de la demostración de la conjetura llevada a cabo en 2003 por el matemático ruso G. Perelmann. Además el autor relaciona este resultado con la forma del universo a través de la teoría de la relatividad de Einstein.
El libro desde mi punto de vista consigue su objetivo aunque algunas partes son difíciles de entender y de imaginar.

Pero ¿qué dice la conjetura de Poincaré?
En nuestro espacio tridimensional en una esfera todo lazo hecho con una cuerda se puede cerrar hasta comprimirlo en un punto.

Esto no ocurre para otras superficies, por ejemplo en un flotador (matemáticamente un toro) esto no es posible 

La conjetura se refiere a una esfera tridimensional (no es una esfera maciza) y afirma que si en una variedad tridimensional una trayectoria cerrada se puede comprimir a un punto es topólogicamente equivalente a una esfera tridimensional.
No es fácil imaginarse una esfera tridimensional o triesfera:
Una esfera unidimensional es la circunferencia, es cerrada y no tiene frontera (simplemente conexa) si la rellenamos tenemos un círculo (superficie), un círculo tiene frontera, si a esa frontera pegamos otra frontera de otro círculo tenemos una superficie cerrada y sin frontera: una esfera (superficie simplemente conexa). Si rellenamos la esfera (piensa en una bola de plastelina) tenemos un cuerpo (tres dimensiones) con frontera, si pegamos las fronteras de dos de estas bolas de plastelina tendríamos una triesfera que sólo podría estar en un espacio de cuatro dimensiones.

El agua deforma el fondo de la piscina, pero es una transformación continua, los mosaicos se deforman, pero su contorno sigue siendo cerrado.

Sumas de series divergentes

Una serie es una suma de infinitos números, por ejemplo:
 1+0,1+0,01+0,001+.........
Se podría pensar que al sumar infinitos números, por muy pequeños que sean el resultado sería siempre infinito como ocurre con la llamada serie armónica.

Aunque cada vez se suma un número menor la suma se va haciendo cada vez mayor sin estar acotada (por decirlo de forma sencilla, sin tener un techo superior), pero lo hace tan lentamente que para que el resultado de la suma sea mayor que 5 hay que sumar los primeros 83 sumandos, para que sea mayor que 6 hay que sumar los 227 primeros sumandos, para que sea mayor que 10 hay que sumar los 12367 primeros sumandos....
Pero esto no es así siempre, hay series en las que la suma se acerca a un número, se denominan series convergentes, la primera que he escrito lo es y su suma es 1,11111....=10/9
Cuando una serie no es convergente se dice que es divergente, la serie armónica lo es,  y también las que van a continuación:
 1+2+4+8+16+32+..........
1-1+1-1+1-1+1-1+.............
La suma de infinitos números es problemática y puede llevar a paradojas como las que aparecen en los siguientes vídeos, precisamente con las dos series anteriores, el segundo está en inglés, pero se entiende.

17 ecuaciones que cambiaron el mundo

Este nuevo libro de Ian Stewart es una historia de los avances tecnológicos de la humanidad explicados a través de 17 ecuaciones que condensan los avances en matemáticas y física desde el Teorema de Pitágoras a la Teoría de la Relatividad. Cuando usamos la tecnología ( ver la televisión, usar un móvil o el ordenador, etc...) nunca nos paramos a pensar en los descubrimientos científicos que los han hecho posible.
Si tienes curiosidad por saber que avances en matemáticas y física hacen que funcione la radio, el GPS, el ordenador, el móvil o incluso como se calcula la rentabilidad de complicados productos financieros que están detrás de la crisis bancaria que estalló en 2008 y que todavía sufrimos, este libro te permitirá introducirte, de una forma amena, en los campos de las matemáticas y física que los han hecho posible.
A mi me ha gustado porque permite visualizar la importancia de las matemáticas para la física, la biología, la economía, etc.. y como todo ello permite que se desarrolle la tecnología.De alguna manera uno puede ver que las matemáticas si que sirven para algo, es más, son muy importantes. Sin ellas no estaríamos disfrutando de estos avances tecnológicos.
En definitiva, un libro interesante que puede leerse aunque no se tengan conocimientos muy profundos de matemáticas o física ya que el autor explica el significado de los términos de la ecuación de forma sencilla.

Perímetro=Área en un triángulo rectángulo.

El enunciado de este problema es tan simple como indica el título ¿Para qué triángulos rectángulos el perímetro es el mismo valor que el área?
Como podéis comprobar el enunciado es idéntico al que propuse hace poco, allí para polígonos regulares.
¿Cuántas de esas soluciones son enteras? Es decir, los lados del triángulo son números enteros.

Fotos de álbumes públicos de Picasa