Un problema de repartos

Este problema tiene muchas variantes, pero siempre es el mismo. Lo he visto con pan, pizzas, chocolate, etc..y, ademas pueden variar las cantidades.
Dice lo siguiente:
Tres amigas María, Ana y Alicia quedan por la tarde porque hace tiempo que no se ven, María lleva 3 chocolatinas, Ana lleva 5, Alicia no lleva nada, pero les paga 80 céntimos  a las amigas ¿Cómo deben repartírselos entre Ana y María?
Hay que suponer que reparten equitativamente las chocolatinas entre las tres.

Un billar particular

La mesa del billar del dibujo está cuadriculada y cada lado tiene un número entero de cuadraditos (en la figura 12x8). En cada esquina hay un agujero. Se lanza desde la esquina A una bola con una inclinación de 45º. Queremos saber:

1. ¿Cuántos cuadraditos cruza la bola hasta meterse en otro agujero?
2. ¿Cuántos rebotes da en los lados de la mesa?
3. ¿En qué agujero se mete la bola?
4. Generaliza el problema para una cuadrícula mxn

Este problema está sacado del libro Matemáticas aplicadas a las CCSS I de la editorial EDITEX, las fotos son del diario EL PAÍS

La conquista del azar

"La conquista del azar"  de la colección "El mundo es matemático", es una introducción a la teoría de la probabilidad. Empieza el libro con un capítulo dedicado a la combinatoria, el arte de contar bien como lo denominan los autores, estos contenidos se utilizan posteriormente para contar casos favorables y posibles de que tenga lugar un suceso. Continua el libro con una historia de esta rama matemática que surge de los juegos de apuestas. Aparecen personajes como G. Cardano, matemático italiano del siglo XVI, que escribió un libro sobre las probabilidades en el juego de dados y que llegó a vislumbrar la conocida ahora como  "Ley de los grandes números". En el siglo XVII Fermat y Pascal abordaron el conocido problema del caballero De Méré que más o menos dice lo siguiente:

 "Dos jugadores apuestan una cantidad de dinero C a los dados, el primero que consiga tres victorias se lleva todo el dinero. Pero cuando el primer jugador lleva ganadas dos partidas y el segundo una deben interrumpir el juego ¿Cómo deben repartirse el dinero?.

Hasta el siglo XIX con Laplace no aparece una obra en la que se considera a la probabilidad como una ciencia, es la "Teoría analítica de las probabilidades" donde aparece su famosa ley. Posteriormente otros matemáticos como Gauss o Legendre perfeccionan la obra de Laplace. Ya en el siglo XX  Kolmogorov establece una teoría axiomática de la probabilidad insertando esta dentro de la teoría de la medida.

Los temas siguientes están dedicados a la definición y cálculo de probabilidades, aparecen la ley de los grandes números, diagramas de árbol, etc.También a calcular la probabilidad de algunos sucesos que dan lugar a situaciones sorprendentes porque su probabilidad nos sorprende. También aparecen situaciones de la vida cotidiana como las probabilidades de sorteos y loterías. 

El libro acaba con la distribución normal y el uso que se hace en la actualidad de la probabilidad, por ejemplo, las compañías de seguros.

Es un libro muy interesante porque aborda la probabilidad desde todos los puntos de vista, además, a ser una rama con muchas aplicaciones, podemos ver la utilidad de las matemáticas.

Por otra parte, desde un punto de vista matemático, me ha parecido más difícil que otros de la colección, el tema sobre combinatoria y algunas probabilidades que hallan no son fáciles de seguir si no se tiene algún conocimiento matemático más que de bachillerato.

Finalizo con un famoso problema de probabilidad que aparece en este libro, pero también en "El curioso incidente del perro a medianoche" o en la película 21 Black Jack. Es el problema de Monty Hall.

"En un programa concurso de TV aparecen tres puertas, en dos de ellas hay una cabra y en la otra un coche. El concursante elige una de ellas, entonces el presentador del programa que sabe donde están las cabras y el coche abre una de las dos puertas, una con una cabra y le dice al concursante que se quiere cambiar su primera puerta o quedarse con ella ¿Qué es mejor para llevarse el coche?"

Great Moments in Mathematics After 1650

Este libro es la continuación de "Great Moments in Mathematicas. Before 1650"  Consta también de 20 lecciones con otros tantos grandes momentos matemáticos. Me han parecido muy interesantes  los dedicados a la geometría no euclidiana y a la nuevas álgebras ambos temas desarrollados durante el siglo XIX. De una forma sencilla y amena, el autor nos introduce los avances que matemáticos como Saccheri, Gauss o Lobachevsky hicieron en la geometría de Euclides si el 5º postulado no se cumplía y como se obtenían geometrías que seguían siendo consistentes. En álgebra, el autor nos introduce en las álgebras abstractas y acaba con los cuaterniones de Hamilton. Los 5 últimos temas son producto de la época del autor, creo que algunos son discutibles, como la lección dedicada a la metamátemática o al formalismo axiomático. Pero en conjunto es un buen libro junto con el anterior para hacerse una idea de  los avances de las matemáticas desde la prehistoria hasta la actualidad.

Problema: Andrés y Carlos deciden jugar una apuesta a los dados con las siguientes normas: Cada uno hace una tirada con dos dados, se multiplican los números que salen, el que obtenga un producto menor paga al otro tantos euros como la diferencia entre los productos obtenidos.
Tira Andrés y saca 4 y 3 cuyo producto es 12, y le dice a Carlos: "Las probabilidades de sacar menos que yo son 19, las de sacar igual son 4, y las de sacar más son 13, así que si quieres me das un euro y acabamos la partida"
Carlos aceptó el trato ¿son correctas las probabilidades? ¿Hizo bien al aceptar el trato?

Fácil, menos fácil, difícil

He publicado en otra entrada varios problemas de este libro que tratan problemas de cruzar desiertos, en esta ocasión voy a poner tres problemas sobre números.










El primero dice así:
El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es 20.312.144.X06.831.176 Calcular la cifra X que falta sin hacer la multiplicación.
Es un problema fácil si se tiene en cuenta una prueba que nos enseñaban en la escuela.

El segundo es menos fácil, es el siguiente:
El producto 2x2 coincide con la suma 2+2, encontrar otras parejas de números cuya suma y producto coincidan. Recordar que hay más números que los enteros.

El tercero es el más difícil y se trata de averiguar la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.

La forja de un rebelde

"La forja de un rebelde" La obra de Arturo Barea donde narra de forma novelada su autobiografía. Es un magnífico libro para entender la guerra civil española y sus causas.
La obra consta de tres volúmenes, el primero se titula "La forja" en el cuenta su infancia y adolescencia. Cuando muere su padre, su madre se traslada a Madrid con él y sus hermanos. para poder sacarlos adelante trabaja como lavandera en el río Manzanares.

Arturo Barea nos cuenta las dificultades por las que pasaron, el autor fue el más afortunado de los hermanos porque se que´do con unos tíos que no tenían hijos. Iba a la escuela a un colegio religioso, en la educación obligatoria los curas separaban en clase diferentes a los ricos y a los pobres, El pudo seguir estudiando el bachillerato porque según cuenta sus buenas notas hacían subir las notas medias de los resultados del colegio. Cuando su tío muere prematuramente tiene que volver con su madre y deja de estudiar para ganarse la vida. El libro es magnífico para hacerse una idea de la vida en Madrid a principios del siglo XX, Nos cuenta sus viajes a Brunete en una carreta, el viaje duraba el día entero. La vida en los barrios populares como Lavapiés, etc.

Arturo Barea

Son muy interesantes sus observaciones sobre como la Iglesia quería quedarse con la herencia de su tío así como las condiciones laborales cuando empezó a trabajar.

El segundo volumen se titula "La ruta", el libro está centrado básicamente en la guerra de Marruecos. al contrario que la primera parte donde hay varias anécdotas divertidas, esta segunda es muy dura, sobre todo cuando el autor cuenta el desastre de Annual. El libro se centra en las corruptelas del ejercito y en la necesidad de continuar la guerra porque de ella vivían muchos mandos. Aparecen Franco, Millán Astray y otros militares que tuvieron protagonismo en la guerra civil. Pero los más interesante son sus reflexiones sobre los miles de jóvenes pobres (los ricos podían librarse de la guerra si pagaban) que iban a morir a África por las decisiones de unos políticos ineptos.

Muertos en el desastre de Annual

El tercer volumen "La llama" está todo el dedicado a la guerra civil. Por sus páginas vemos pasar el caos de los republicanos en los primeros días de la revuelta, la vida de la gente durante el sitio, su angustia cada vez que un avión lanzaba bombas sobre la capital... El libro termina con el exilio de arturo Barea, primero en Francia y poco después en Inglaterra.
Durante la guerra Barea estuvo al cargo de censor d las noticias que los corresponsales extranjeros mandaban a sus países, pero también hablaba por la radio contando historias de la guerra.

En resumen, una obra magnífica de una persona inteligente que creía que había que regenerar España, que aquellos que durante siglos habían vivido sin apenas nada pudieran vivir mejor con una buena educación y con unos servicios básicos. Sin embargo el sueño se frustró porque los que durante siglos habían tenido todos los privilegios no querían perderlos y se impusieron gracias a unos  militares a los que no les importó matar a sus compatriotas.

Cruzar desiertos

En el libro "FÁCIL, MENOS FÁCIL, DIFÍCIL" de Mariano Mataix, aparecen unos problemas bastante interesantes, como el título indica son de diferentes niveles, algunos realmente difíciles
Voy a poner dos que tienen la misma temática de cruzar un desierto.

1.- ¿Cuánto tardará un explorador en cruzar un desierto de 100 Km de ancho, si puede hacer 20 Km cada día, pero sólo puede llevar agua y comida para 3 días? (Suponer que el explorador hace depósitos de provisiones en los puntos alcanzados después de uno o más días completos de viaje)

2.- Un camión se encuentra en el borde de un desierto de 800 Km de ancho. La carga de gasolina de su depósito sólo le permite recorrer 500 Km. Al comienzo del desierto hay disponible toda la gasolina que quiera, pero no puede llevar más que la que quepa en el depósito (no se le permite llevar bidones con gasolina de reserva). El camión puede establecer depósitos de gasolina en el desierto. ¿Cuál será el número mínimo de viajes que debe hacer el camión para cruzar el desierto?
Si el desierto tuviera 2000 Km de anchura ¿Podría atravesarlo?

Imágenes tomadas del diario "El País"

La esfera que quiso ser infinita

Se puede cortar una esfera maciza en ocho trozos y después unirlos como si fuera un puzle y obtener dos esferas macizas del mismo tamaño que la original.

Esto es lo que afirma el teorema de Banach y Tarski y no es una paradoja, el teorema es perfectamente correcto, además si continuamos el proceso y dividimos las esferas resultantes podemos obtener infinitas esferas como la inicial.

Así comienza este libro que nos habla del significado de la medida en matemáticas.
Después de una introducción en la que se nos recuerda desde el significado de longitud de una curva, del área de una superficie y del volumen de un cuerpo, pasando por el álgebra geométrica de los griegos hasta lo que son los conjuntos numerables y no numerables continua con  la demostración del teorema de Banach y Tarski.
Una vez demostrado, el autor nos introduce en la teoría matemática de la medida y lo que significa que un conjunto sea medible o no. Todo ello para que veamos que no existe paradoja en el teorema, es decir que a partir de una esfera de volumen V no se obtiene dos esferas de volumen V cada una, o lo que es lo mismo a partir de una pelota maciza de goma no se pueden obtener dos pelotas macizas de goma del mismo tamaño que la original. Esto es porque las partes en las que se divide la esfera original no son medibles.
El último capítulo está dedicado a los objetos fractales que pueden entenderse como espacios de dimensión fraccionaria en los que también tiene sentido hablar de medida, pro esta medida no es una longitud (medida de los conjuntos de dimensión 1) ni un área (medida de los conjuntos de dimensión 2) ni un volumen (medida de los conjuntos de dimensión 3)

Mathematics and the search for knowledge

Voy a empezar con un problema que he encontrado en el libro y que dice más o menos lo siguiente( el libro no está traducido al español y la traducción es libre)
Un frutero vende manzanas a 2 por cada 5 céntimos y naranjas a 3 por cada 5 céntimos. Como no le gusta hacer cuentas decide mezclar las manzanas con las naranjas (se supone que hay igual cantidad de ambas) y vender 5 piezas de ambas frutas a 10 céntimos, pensando que de esta forma no gana ni pierde. La pregunta es ¿Hace lo correcto?

Sigo con el comentario del libro
Siempre me han gustado los libros de Morris Kline, me pare ce un muy buen divulgador de las matemáticas, en este libro nos habla de la importancia de las matemáticas en el estudio y conocimiento de las leyes físicas.
Después de una introducción en la que hace un repaso de las diferentes teorías filosóficas sobre el conocimiento y  si lo que podemos percibir por los sentidos y si ello es fiable o no, pasa a exponernos como a partir de Pitágoras, las matemáticas van adquiriendo un papel central en la explicación de lo que ocurre en la naturaleza.
Partiendo de los trabajos de astronomía de los griegos, sobre todo de la teoría geocéntrica de Ptolomeo con sus complicados mecanismos para explicar los movimientos planetarios, nos introduce en como las matemáticas acuden en ayuda de los científicos para explicar las teorías o para rechazarlas, ya que lo que llevó del modelo geocéntrico al heliocéntrico de Copérnico y Kepler fue que estos eran más sencillos matemáticamente.
Las matemáticas se convierten así en el lenguaje en el que están escritas las leyes de la naturaleza. el estudio de las matemáticas es crucial para entender el pensamiento de dios  que ha creado el mundo de acuerdo a leyes matemáticas.

Este pensamiento se refuerza con las leyes de Newton de la gravitación que permitieron  el descubrimiento del planeta Neptuno antes de ser visto porque las irregularidades en la órbita de Urano llevaron a la conclusión de que debería haber otro planeta  que fue descubierto a través de cálculos matemáticos por Leverrier.

A partir del siglo XIX con la teoría del Electromagnetismo de Maxwell las matemáticas adquieren un papel todavía mas crucial ya que, por un lado aparecen los conceptos de "campo" que no se sabe que realidad física tiene, y por otro, las ecuaciones son capaces de predecir fenómenos nunca observados como las ondas electromagnéticas o explicar las propiedades de la luz.

La teoría de la relatividad y la física cuántica introducen en la física conceptos nuevos que no tienen un significado preciso para nuestros sentidos y que, en algunos casos, son contrarios al sentido común, pero que pueden explicarse matemáticamente como la idea de que los objetos pueden comportarse a la vez como ondas y partículas o que el campo gravitatorio cambia la geometría del espacio.

Llegamos así a las cuestiones más importantes que se plantean en el libro:
¿Por qué las matemáticas funcionan? es decir  ¿Por qué hacen predicciones tan correctas de los fenómenos que ocurren?
¿Qué realidad física tiene los conceptos matemáticos que se usan en las teorías de la física?
¿Son las matemáticas la única herramienta que nos permite conocer la realidad física?
 ¿Los conceptos involucrados en las teorías físicas son reales o sólo los aceptamos porque hacen predicciones que son correctas?
¿Son reales las teorías físicas o sólo son una aproximación a la realidad?
¿Existe la realidad?

Fotos del diario "El País"