Our mathematical universe

En alguno de los libros que he comentado en este blog se reflexionaba sobre el poder de las matemáticas para explicar la naturaleza y cómo las matemáticas ayudan a los físicos a a descubrir  nuevas ideas físicas no descubiertas experimentalmente en las teorías ideadas por ellos.
Pero el porqué las matemáticas se ajustan tan bien  para describir las leyes de la naturaleza es un misterio o como mucho una pregunta del ámbito de la filosofía.
Este libro va más allá que cualquier otro a la hora de responder a al pregunta de por qué las leyes de la naturaleza son leyes matemáticas. La respuesta es bastante radical: las matemáticas describen la realidad porque, en último término, la realidad es una estructura matemática.
Para hacernos comprender esta idea el autor trata en la primera parte la cosmología actual,  derivada, en su mayor parte, de los experimentos que estudiaron el fondo de radiación de microondas.
En la segunda parte se ocupa de lo muy pequeño, desde el átomo a las partículas fundamentales que lo forman y la teoría cuántica en la que se basa todo ello.

Por último, en la tercera parte el autor desarrolla, de una forma muy especulativa, sus ideas sobre la naturaleza matemática de nuestra realidad. Por un lado afirmando que los componentes últimos del átomo son objetos matemáticos y que nuestro universo es una estructura matemática.

Las dos primeras partes son muy interesantes desde un punto de vista divulgativo ya que el autor hace un repaso de las teorías cosmológicas que han ido ensanchando los límites de nuestro universo desde los antiguos griegos hasta la actualidad y explica por qué en las teorías actuales es necesario introducir la inflación y el significado de conceptos como la materia y la energía oscuras. Lo mismo ocurre explicando como hemos ido profundizando en el átomo y sus componentes y el modelo estándar que explica las partículas fundamentales.

También explica la dificultad de crear una "teoría del todo" que explique desde lo muy pequeño a lo muy grande ya que lo muy pequeño se estudia con la teoría cuántica y lo muy grande con la teoría de la relatividad y ambas teorías parten de ideas matemáticas contrapuestas.

Como comenté anteriormente la tercera parte es muy especulativa, a veces no fácil de seguir, pero es donde el autor expone sus ideas sobre que nuestra realidad es una estructura matemática con objetos matemáticos que "viven" dentro de ella.

One, two, three....Infinity

Este libro del conocido físico y divulgador George Gamow es una delicia, aunque está un poco desfasado porque lo escribió en los años 40 del siglo XX es un magnífico recorrido por las matemáticas, y aspectos de la física como la relatividad general, la física atómica y la astrofísica.
La primera parte la dedica a las matemáticas, se centra en los números transfinitos de Cantor, los números primos, números complejos, etc. La parte siguiente está dedicada a la teoría de la relatividad, en él aparecen a un nivel divulgativo bastante comprensible las ideas que llevaron a Einstein a dicha teoría. A continuación el autor hace un recorrido por la historia de los descubrimientos en física atómica y nuclear y finaliza con la parte dedicada a asrtrofísica, la creación de galaxias, ,estrellas y el Sistema Solar. El libro está salpicado de desarrollos matemáticos que el autor necesita para sus explicaciones físicas así como dibujos realizados por el propio Gamow.
El libro en inglés se lee fácilmente y se entienden bien los conceptos y las ironías que, de vez en cuando, escribe.
En una entrada bastante antigua de este blog escribí un problema sacado de este libro

Tres faros

Este problema lo he encontrado en una web que se llama "Mind your decisions"

"En una costa hay tres faros . El primero luce tres segundos y después tiene 3 segundos de oscuridad. El segundo faro brilla 4 segundos a los que siguen 4 de oscuridad y el tercero brilla 5 segundos y después tiene 5 segundos de oscuridad"
Si los tres empiezan a brillar juntos:
a) ¿Cuándo es la primera vez que los tres faros estarán apagados a la misma vez?
b) ¿Cuándo es la siguiente vez que los tres faros empiezan a brillar a la misma vez?
La primera pregunta es fácil de responder, si escribo l por "luz" y o por "oscuridad"(cada letra es un segundo)
1.- l  l  l o o o l  l  l o o o......
2.- l  l  l  l o o o o l  l  l  l o o o o......
3.- l  l  l  l  l o o o o o l  l  l  l  l  o o o o o.....
Vemos que a los 6 segundos los tres faros están en oscuridad a la vez. Tampoco es difícil contestar a la segunda pregunta si uno se acuerda del concepto de "mínimo común múltiplo".
Pero voy a proponer una variante del problema:
¿En qué momento los tres faros se apagan a la vez?

Why beauty is truth

Este libro es una historia del concepto de simetría desde un punto de vista matemático. Pensamos que la simetría tiene que, ver sobre todo, con la geometría  y ello es cierto. Pero donde realmente juega un papel importante es en la resolución de ecuaciones, tanto ordinarias como diferenciales.

Por ello el libro, en la primera parte es una historia de las ecuaciones algebraicas (ecuaciones polinómicas de diferentes grados) y de cómo se resolvieron. Pasan por el libro personajes como Tartaglia, Cardano Ruffini y Abel y sus contribuciones al tema. Sabemos así que ya los matemáticos babilónicos sabían resolver ecuaciones de 2ºº grado y que hasta el siglo XVI, en pleno renacimiento italiano no se produjeron más avances que permitieron resolver ecuaciones de 3º y 4º grados. Acabando con el trabajo de Abel que demuestra que la ecuación de  5º grado no se puede resolver con las operciones básicas (sumas y restas, multiplicaciones y divisiones, potencias y extracción de raíces)

Llegamos así a la figura central Evariste Galois que se dio cuenta de que la resolución de ecuaciones dependía de las simetrías de sus soluciones. El álgebra que había sido el estudio de las ecuaciones, se convirtió gracias a Galois en el estudio de las estructuras matemáticas (grupos, cuerpos, anillos...)

Las ideas de Galois para el estudio de las soluciones de las ecuaciones se aplicaron al estudio de las ecuaciones diferenciales gracias a matemáticos como Killing y Lie. De aquí pasaron a la física. 

Actualmente el estudio de las teorías que unifican las diferentes fuerzas de la física es el estudio de ciertos grupos de simetría, y la explicación de por qué vemos diferentes fuerzas tiene que ver con la rotura de esas simetrías.

Un libro apasionante en el que temas muy complicados son tratados con gran sencillez. Es un libro ameno porque el escritor inserta en los capítulos anécdotas sobre la vida de los personajes involucrados en los desarrollos matemáticos que trata.

Imágenes de op art de Pinterest

The man who loved only numbers

En este libro, el autor Paul Hoffman, a través de entrevistas a amigos y conocidos, nos va desgranando la vida de Paul Erdós, unno de los mejores matemáticos del siglo XX.
Erdós nació en Hungría en una familia judía. Por ello tanto su familia como él tuvieron problemas con las autoridades húngaras favorables a los nazis en los años 30, así como después al estallar la segunda guerra mundial. Él abandonó el país para trasladarse primero al Reino Unido y después a los Estados Unidos. En USA también tuvo problemas al volver a su país durante la época del macartismo.
Erdós tuvo una vida errante que le llevó a visitar muchos países. Nunca tuvo casa ni posesiones. Viajaba con una maleta donde tenía lo único que necesitaba: ropa limpia para cambiarse. Vivía alojado en casa de sus amigos y en las casas de los colegas con los que trabajaba. Cuando trabajó para alguna Universidad, el dinero de su salario lo repartía entre los pobres o ayudando a jóvenes sin recursos para poder estudiar.
En el libro,además de la vida Paul Erdós, el autor nos introduce en muchos temas matemáticos como el último teorema de Fermat, números de Fibonacci y otros temas de historia de las matemáticas.
Es un libro muy entretenido en el que a través de los que cuentan personas que le conocieron van apareciendo retazos de su vida, sus extravagancias, manías, pero también los temas de matemáticas por los que se interesó. Cuando se termina el libro tenemos un retrato bastante completo de Erdós e incluso llegamos a comprender algunas de sus excentricidades.
También existe una edición en español del libro

To infinity and beyond

Un nuevo libro que trata sobre el infinito, en este caso una aproximación cultural al mismo como se indica en el subtítulo.
Por cierto, el título no está sacado de la famosa película "Toy story". El autor cuenta que lo obtuvo del manual de instrucciones de un telescopio en el que ponía que podía enfocar desde 15 pies hasta el infinito y más allá.
El libro está dividido en cuatro partes, el la primera se habla del infinito en matemáticas. Se habla de su relación con el cero. De las series infinitas. De lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. La infinidad de los números primos, el concepto de número y los números irracionales. Y acaba, como no podía ser de otra manera con las ideas de Cantor sobre el infinito.
La segunda parte está dedicada al infinito en geometría, aparecen curvas, paradojas donde aparece el infinito, proyecciones y el punto y recta del infinito, así como teselaciones infinitas del plano y del espacio.
En la tercera pare aparece el infinito en el arte y se dedica principalmente a la obra de Escher.
Por último la cuarta parte está dedicada al in¡finito en la astronomía, haciendo un repaso desde los Griegos antiguos que rechazaban la infinitud del espacio y como poco a poco, se ha ido desplazando la Tierra de su ligar central en el cosmos y como ha pasado a ser un pequeño objeto en un vasto universo.
El libro no está editado en castellano, pero se puede leer fácilmente en inglés. Es un libro interesante por la cantidad de citas que contiene y también porque su aproximación al infinito me ha parecido novedosa ya que abarca no sólo el infinito aritmético (el más común) sino que trata también el infinito de la geometría proyectiva con sus puntos y restas del infinito. Además, gracias a la última parte podemos entender como pasamos de rechazar el infinito a convivir con él a medida que se iba desarrollando la astronomía.

Fotos tomadas del diario EL País

Problema de la semana

Un señor reparte entre sus hijos un rebaño de ovejas de la forma siguiente:
Al primero le deja una oveja más un séptimo de las restantes. Al segundo le deja 2 ovejas más un séptimo de las restantes, al tercero 3 ovejas más un séptimo de las restantes y así sucesivamente.
De esta forma reparte la misma cantidad de ovejas entre sus hijos.
¿Cuántas ovejas tenía el rebaño? ¿Cuántos hijos tenía el señor?

Responder de forma justificada y explicando cómo llegáis a la solución.