Radicales continuos

Al igual que las fracciones continuas los radicales continuos o anidados son una fuente de sorpresas matemáticas. He encontrado estos en una página de matemáticas que contiene interesantes problemas que se llama "mind your decisions" las soluciones las puedes encontrar en dicha web junto con otros muchos desafíos.
Aquí van unos cuantos
El primero es sencillo, su valor es 100 ¿Podrías averiguar por que ?

El segundo es similar pero con una raíz enésima su valor es

Aquí va otro

 Su valor es

Otro problema más de esta web, este mucho más fácil, pero cuidado con la prioridad de las operaciones.

Calculating the Cosmos

el título completo del libro es "Calculando el cosmos. Cómo las matemáticas desvelan el Universo"
Y eso es lo que hace Ian Stewart.
En los primeros capítulos estudia el Sistema Solar, respondiendo a preguntas como ¿Cómo se formó? ¿Por qué los planetas tienen diferente composición química? ¿Cómo se formó la luna? ¿Es estable el Sistema Solar? Por qué los anillos de Saturno tienen zonas donde no hay partículas? Etc.
Después abarca nuestra galaxia y las galaxias próximas ¿Por qué tienen forma de espiral? ¿Existen otras formas? ¿Cómo calculamos la distancia a ellas?
Finaliza el libro con las últimas teorías sobre el Universo ¿Existió el Big Bang? ¿Qué son la materia y la energía oscura? ¿Existen los llamados multiversos?
Aunque es un libro de divulgación se requieren ciertos conocimientos de matemáticas y física para poder leerlo bien. Pero en este caso es un libro magnífico  porque, sin un tratamiento matemático profundo, podemos ver, por ejemplo,  la complejidad del estudio de un sistema formado por una estrella y varios planetas que giran a su alrededor, y eso que sólo utiliza las leyes de Newton (nada de relatividad general) y lo mismo ocurre cuando se quiere explicar cómo se formó la luna o por qué la galaxia tiene forma de espiral.

Existe traducción al castellano "Las matemáticas del cosmos"

Fotos del telescopio Hubble y del diario El País

How to lie with statistics

Un interesante y divertido libro que nos habla de como nos engañan con las estadísticas. Gobernantes y políticos en general. empresas, la publicidad, etc, usan los datos estadísticos y los porcentajes como mejor les conviene.

• Gráficos manipulados para que crecimientos pequeños parezcan grandes o disminuciones grandes que parezcan pequeñas que se consiguen cambiando la escala de los ejes de coordenadas.
• El uso de la media aritmética, la mediana y la moda como si fueran el mismo concepto y usando la que mejor convenga a sus intereses.
• Encuestas que se hacen a una docena de personas y que pretenden sacar conclusiones sobre una población de millones.
• Porcentajes detallados ( de varias cifras decimales) y que no son más que estimaciones (por ejemplo, un 77,45% afirma que...).
• Productos que lo hacen mejor que otros (por ejemplo detergentes que lavan más blanco que otro), pero que ese otro no nos dicen cual es o es uno de mediocres prestaciones.
• Correlaciones entre magnitudes de las que se sacan conclusiones falsas (por ejemplo afirmaciones como "las personas que ganan más de 50000 fuman menos" para decirnos que si fumamos menos ganaremos más dinero)
• El uso de aumentos y disminuciones porcentuales sin decirnos que cantidad es el 100%. Como en este ejemplo en el que nos dicen que nos regalan el 33% de la pasta de dientes porque el tubo habitual tiene 75 ml que ellos consideran el 100%, el 33% son 25 ml. Pero si compro un tubo de 100 ml y 25 ml son gratis me han regalado el 25% de lo que compro (en este caso el 100 son 100 ml)
  

Estos y muchos otros ejemplos son aclarados en este libro sobre el mal uso que se hace de la estadística o como nos mienten usando la estadística.

Puertas

PUERTAS DE HUELVA Y MARRUECOS

Our mathematical universe

En alguno de los libros que he comentado en este blog se reflexionaba sobre el poder de las matemáticas para explicar la naturaleza y cómo las matemáticas ayudan a los físicos a a descubrir  nuevas ideas físicas no descubiertas experimentalmente en las teorías ideadas por ellos.
Pero el porqué las matemáticas se ajustan tan bien  para describir las leyes de la naturaleza es un misterio o como mucho una pregunta del ámbito de la filosofía.
Este libro va más allá que cualquier otro a la hora de responder a al pregunta de por qué las leyes de la naturaleza son leyes matemáticas. La respuesta es bastante radical: las matemáticas describen la realidad porque, en último término, la realidad es una estructura matemática.
Para hacernos comprender esta idea el autor trata en la primera parte la cosmología actual,  derivada, en su mayor parte, de los experimentos que estudiaron el fondo de radiación de microondas.
En la segunda parte se ocupa de lo muy pequeño, desde el átomo a las partículas fundamentales que lo forman y la teoría cuántica en la que se basa todo ello.

Por último, en la tercera parte el autor desarrolla, de una forma muy especulativa, sus ideas sobre la naturaleza matemática de nuestra realidad. Por un lado afirmando que los componentes últimos del átomo son objetos matemáticos y que nuestro universo es una estructura matemática.

Las dos primeras partes son muy interesantes desde un punto de vista divulgativo ya que el autor hace un repaso de las teorías cosmológicas que han ido ensanchando los límites de nuestro universo desde los antiguos griegos hasta la actualidad y explica por qué en las teorías actuales es necesario introducir la inflación y el significado de conceptos como la materia y la energía oscuras. Lo mismo ocurre explicando como hemos ido profundizando en el átomo y sus componentes y el modelo estándar que explica las partículas fundamentales.

También explica la dificultad de crear una "teoría del todo" que explique desde lo muy pequeño a lo muy grande ya que lo muy pequeño se estudia con la teoría cuántica y lo muy grande con la teoría de la relatividad y ambas teorías parten de ideas matemáticas contrapuestas.

Como comenté anteriormente la tercera parte es muy especulativa, a veces no fácil de seguir, pero es donde el autor expone sus ideas sobre que nuestra realidad es una estructura matemática con objetos matemáticos que "viven" dentro de ella.

One, two, three....Infinity

Este libro del conocido físico y divulgador George Gamow es una delicia, aunque está un poco desfasado porque lo escribió en los años 40 del siglo XX es un magnífico recorrido por las matemáticas, y aspectos de la física como la relatividad general, la física atómica y la astrofísica.
La primera parte la dedica a las matemáticas, se centra en los números transfinitos de Cantor, los números primos, números complejos, etc. La parte siguiente está dedicada a la teoría de la relatividad, en él aparecen a un nivel divulgativo bastante comprensible las ideas que llevaron a Einstein a dicha teoría. A continuación el autor hace un recorrido por la historia de los descubrimientos en física atómica y nuclear y finaliza con la parte dedicada a asrtrofísica, la creación de galaxias, ,estrellas y el Sistema Solar. El libro está salpicado de desarrollos matemáticos que el autor necesita para sus explicaciones físicas así como dibujos realizados por el propio Gamow.
El libro en inglés se lee fácilmente y se entienden bien los conceptos y las ironías que, de vez en cuando, escribe.
En una entrada bastante antigua de este blog escribí un problema sacado de este libro

Tres faros

Este problema lo he encontrado en una web que se llama "Mind your decisions"

"En una costa hay tres faros . El primero luce tres segundos y después tiene 3 segundos de oscuridad. El segundo faro brilla 4 segundos a los que siguen 4 de oscuridad y el tercero brilla 5 segundos y después tiene 5 segundos de oscuridad"
Si los tres empiezan a brillar juntos:
a) ¿Cuándo es la primera vez que los tres faros estarán apagados a la misma vez?
b) ¿Cuándo es la siguiente vez que los tres faros empiezan a brillar a la misma vez?
La primera pregunta es fácil de responder, si escribo l por "luz" y o por "oscuridad"(cada letra es un segundo)
1.- l  l  l o o o l  l  l o o o......
2.- l  l  l  l o o o o l  l  l  l o o o o......
3.- l  l  l  l  l o o o o o l  l  l  l  l  o o o o o.....
Vemos que a los 6 segundos los tres faros están en oscuridad a la vez. Tampoco es difícil contestar a la segunda pregunta si uno se acuerda del concepto de "mínimo común múltiplo".
Pero voy a proponer una variante del problema:
¿En qué momento los tres faros se apagan a la vez?

Why beauty is truth

Este libro es una historia del concepto de simetría desde un punto de vista matemático. Pensamos que la simetría tiene que, ver sobre todo, con la geometría  y ello es cierto. Pero donde realmente juega un papel importante es en la resolución de ecuaciones, tanto ordinarias como diferenciales.

Por ello el libro, en la primera parte es una historia de las ecuaciones algebraicas (ecuaciones polinómicas de diferentes grados) y de cómo se resolvieron. Pasan por el libro personajes como Tartaglia, Cardano Ruffini y Abel y sus contribuciones al tema. Sabemos así que ya los matemáticos babilónicos sabían resolver ecuaciones de 2ºº grado y que hasta el siglo XVI, en pleno renacimiento italiano no se produjeron más avances que permitieron resolver ecuaciones de 3º y 4º grados. Acabando con el trabajo de Abel que demuestra que la ecuación de  5º grado no se puede resolver con las operciones básicas (sumas y restas, multiplicaciones y divisiones, potencias y extracción de raíces)

Llegamos así a la figura central Evariste Galois que se dio cuenta de que la resolución de ecuaciones dependía de las simetrías de sus soluciones. El álgebra que había sido el estudio de las ecuaciones, se convirtió gracias a Galois en el estudio de las estructuras matemáticas (grupos, cuerpos, anillos...)

Las ideas de Galois para el estudio de las soluciones de las ecuaciones se aplicaron al estudio de las ecuaciones diferenciales gracias a matemáticos como Killing y Lie. De aquí pasaron a la física. 

Actualmente el estudio de las teorías que unifican las diferentes fuerzas de la física es el estudio de ciertos grupos de simetría, y la explicación de por qué vemos diferentes fuerzas tiene que ver con la rotura de esas simetrías.

Un libro apasionante en el que temas muy complicados son tratados con gran sencillez. Es un libro ameno porque el escritor inserta en los capítulos anécdotas sobre la vida de los personajes involucrados en los desarrollos matemáticos que trata.

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