miércoles, 11 de enero de 2017

A history of pi

Desde que los seres humanos se interesaron por medir áreas y longitudes de figuras circulares el número p ha estado presente de una manera u otra en estas medidas. Este nos cuenta la historia de este número desde su aparición en este párrafo de la biblia 
"Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del uno al otro lado, redondo y de cinco codos de alto y ceñido en derredor de un cordón de treinta codos"
que supone que p=3 hasta la imposibilidad de la cuadratura del círculo porque p es un número trascendente.
Entretanto conocemos los valores de  que usaron los egipcios, los babilónicos los antiguos griegos, donde se hace referencia a Arquímedes y su acotación de este número usando polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, empezando por un hexágono y duplicando el número de lados hasta usar un polígono de 96 lados. También conocemos los valores que usaron los indues y los chinos. Estos valores se resumen en la tabla

Posteriores usos del método arquimediano con polígonos con más lados obtuvieron acotaciones más precisas.
Pero hasta Viète (1593) y Wallis (1655) que obtuvieron respectivamente las siguientes fórmulas



no se hicieron nuevos progresos.
La ventaja algunas de estas series es que convergen más rápido que usando el método de Arquímedes lo que permite calcular cada vez más números de su desarrollo decimal en menos tiempo. Por ejemplo Leibniz, a partir del desarrollo en serie de la función arcotangente obtuvo el desarrollo


que converge lentamente, pero Euler usando combinaciones de arcotangentes obtuvo la formula


que converge rápidamente.
Los cada vez más decimales obtenidos par el número p hacían sospechar que el número era irracional, lo que fue demostrado por Lambert en 1766. Posteriormente, Lindeman (1882) demostró que era un número trascendente (número que no es solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros). De esta forma quedó resuelto uno de los grandes problemas griegos, el de la cuadratura del círculo (encontrar un cuadrado con el mismo área que un círculo dado usando sólo regla y compás). Los números trascendentes no son construibles con regla y compás, cuadrar el círculo es equivalente a construir con regla y compás un cuadrado de lado
que es trascendente.
El libro es un recorrido por la historia de la geometría desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Desde mi punto de vista sobran algunas secciones, como las dedicadas a los "cuadradores de círculos": personas que dicen haber encontrado la cuadratura del círculo de acuerdo a las reglas griegas y que no son más que charlatanes. La opinión del autor sobre ciertas épocas de la historia es demasiado tendenciosa.  






lunes, 14 de noviembre de 2016

Cero. La biografía de una idea peligrosa.

Este libro relata la historia del número cero. Los babilonios inventaron el cero, pero fueron los hindúes quienes perfeccionaron el concepto hasta como lo conocemos hoy. También los mayas descubrieron el cero por su cuenta. Desde que el cero ocupó un lugar con el resto de los números creó problemas a la hora de hacer multiplicaciones y divisiones.

Los antiguos griegos lo rechazaron porque uno de sus pilares filosóficos era que el vacío no existía y el cero se identificaba con el vacío, tampoco el infinito gustaba a los griegos, lo vemos en las famosas paradojas de Zenón y las relaciones entre ambos conceptos son muchas. Este rechazo les impidió muy probablemente avanzar más en el conocimiento matemático, lo que les podría haber llevado a la invención del cálculo diferencial e integral.

No tuvieron estos problemas en la India, su religión y filosofía estaban preparadas para aceptar el cero, tampoco tuvieron muchos problemas con los números negativos.
A través de los árabes penetró en Europa en el siglo XII, sin embargo la Iglesia y los filósofos lo rechazaron porque se oponía a las ideas aristotélicas y la Iglesia había basado su teología y las pruebas de la existencia de Dios en ellas.

Pero las nuevas ideas eran ya imparables, durante el Renacimiento y en siglos posteriores, a medida que las ciencias avanzaban en Europa, el cero y su pariente el infinito se convirtieron en protagonistas de las nuevas matemáticas del cálculo diferencial e integral.

También el cero se introdujo en la física que nació a partir del Renacimiento, experimentos que demostraban que se podía hacer el vacío, el cero absoluto de temperatura, etc.  permitieron familiarizarse con estos conceptos antes prohibidos. La aplicación de las matemáticas para establecer las leyes de la física permitieron que aparecieran singularidades allí donde la ecuación deja de tener sentido porque aparece una división por cero, por ejemplo. El concepto de agujero negro es una singularidad en las ecuaciones de Einstein, pero los agujeros negros existen, como otros conceptos que aparecen en la física cuántica, por ejemplo la energía del vacío que hace que aparezcan infinitos por doquier. La nueva teoría de cuerdas permite que estas singularidades desaparezcan, pero no existen experimentos que permitan decidir si esta teoría es cierta. Si se demostrara  su validez con experimentos tendríamos una teoría que es capaz de unir la relatividad general que explica lo muy grande (las galaxias, el universo) con la física cuántica que explica lo muy pequeño (átomos, quarks, etc) En ella tienen depositada sus esperanzas muchos físicos. Permitiría, además, que los ceros e infinitos desaparezcan de la física.

Un magnífico libro, muy fácil de leer aunque no se tengan grandes conocimientos matemáticos. El libro desarrolla lo resumido arriba. No sólo es una historia de una parte de las matemáticas, también habla de filosofía y de física. Es un recorrido de más de 25 siglos desde el nacimiento del cero hasta la teoría de cuerdas. Muy recomendable.
Fotos dela luna de "El País"




lunes, 7 de noviembre de 2016

Cubos y cuadrados

El otro día vi en un libro esta relación que no conocía y que me parece muy interesante


¿Sabrías demostrarla?
Te puede ayudar una relación que coloqué en la entrada "Relaciones interesantes"
Fotos del diario "El País"




sábado, 15 de octubre de 2016

La soledad de los números primos

Los números primos son especiales en matemáticas, además aparecen entre los otros números sin una pauta que permita adivinar si un número es primo o no. No hay una fórmula que permita obtener los infinitos números primos que existen.
Por otra parte se pueden encontrar grupos de números consecutivos que no son primos tan grandes como queramos: de 1000,  de 1000.000 números....
Excepto los números primos 2 y 3 que son consecutivos, no existen otros números primos que estén tan próximos. Siempre hay como poco un número no primo que se interpone entre ellos: son los llamados números primos gemelos como 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc.
Esta es la imagen de la que se vale Paolo Giordano para contarnos 7 momentos en la vida de Alice y Mattia, 7 momentos que recorren desde la infancia hasta que llegan a la madurez.
Dos personas, especiales como los números primos,  marcadas por acontecimientos trágicos que ocurrieron en su infancia y  que condicionan sus vidas. Dos personas que se aman, pero que siempre, como con los números primos gemelos, se interpone algo que les impide juntarse.
Una historia de amor y de soledad, pero también una historia sobre la incapacidad de comprometerse con los otros, sobre el desprecio a los diferentes.... Un libro recomendable.






lunes, 29 de agosto de 2016

Matemática...¿Estás ahí? Episodio 100

Este libro es la cuarta entrega de la colección Matemática,,¿Estás ahí? La estructura del libro es similar a la de los otros, problemas para que el lector los resuelva planteados de forma amena y curiosidades matemáticas como la del ISBN, el código que identifica los libros que sirve al autor para introducir una parte interesante de las matemáticas actuales  como es la detección de si el código es incorrecto y además si se puede detectar el error y corregirse.











Planteo aquí alguno de los problemas que más me han gustado, los tres primeros son de probabilidad
  1. Se tienen 100 bolitas (50 rojas, 50 negras) se distribuyen en dos frascos como queramos, la pregunta es ¿Cómo deben distribuirse para que la probabilidad de sacar bola roja sea máxima?
  2. Se tienen tras monedas la A es normal con su cara y su cruz, la B tiene dos caras, la C tiene dos cruces. Se elige una moneda al azar, se lanza y sale cara ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda elegida haya sido la que tiene 2 caras?
  3. Si una perra tiene 4 cachorros ¿Qué es más probable que sean 2 machos y dos hembras o tres de un sexo y uno del otro?



El problema 4  dice lo siguiente: se tiene una balanza y 5 mujeres, se pesan por parejas de todas las formas posibles y los pesos obtenidos fueron: 105, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 119, 121 kg ¿Cuánto pesa cada mujer?

Si tenemos una bolsa con bolas numeradas del 1 al 100 y elegimos 10 cualquiera de ellas con este grupo de 10 bolas formamos dos grupos (no necesariamente hay que coger todas las bolas entre los dos). Demostrar que sea cual sea el grupo de 10 bolas elegidas siempre hay dos de esos subconjuntos cuyos elementos suman lo mismo.
Ejemplo si elegimos las bolas {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Los grupos {1,3} y {4} suman lo mismo
Los grupos {1,2,4,7} y {6,8} suman lo mismo
Los grupos {1,2,4,7} y {5,8} no suman lo mismo

El último problema que elijo es el del "carcelero loco". En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100 todas cerradas. Entonces el carcelero abre todas, después cierra las celdas que son múltiplos de 2. A continuación elige las celdas que son múltiplos de 3, si está abierta la cierra y si está cerrada la abre. Luego hace lo mismo (cambia su estado) con las celdas que son múltiplos de cuatro, así sucesivamente con las celdas múltiplos de 5, de 6, de 7....de 10. La pregunta es , al final del proceso qué celdas quedan abiertas?
Fotos de el diario EL PAÍS

lunes, 8 de agosto de 2016

La paja en el ojo de Dios

¿Te has preguntado alguna vez cómo será el primer encuentro entre los seres humanos y una especie alienígena con similar inteligencia y nivel tecnológico que nosotros?
Este libro pretende responder a esta pregunta. Aunque el tema ha sido tratado en películas y otros libros de ciencia ficción, en este libro el encuentro aparece tratado de una manera bastante verosímil desde mi punto de vista. La historia transcurre en el año 3017 dC una vez que la humanidad ha colonizado planetas de otros sistemas estelares y está regida por un emperador al que se oponen algunos planetas rebeldes (Muy parecido a lo que ocurre en la serie de películas de "La guerra de las galaxias)
Entre humanos y alienígenas se desarrolla un juego secreto en el que por un lado quieren saber de los otros, pero los otros tratan de ocultar algunos de sus logros.
Científicos, lingüistas, antropólogos, pero también militares quieren conocer acerca de los alienígenas. A su vez los alienígenas que parecen amigables y pacíficos tratan de ocultar sus intenciones.
Según trascurre la novela nos vamos enterando de las intenciones de los alienígenas y de su poderío militar real y también de su biología, de su civilización, etc.
El libro está considerado una obra maestra del género y un libro de culto. Yo no creo que sea una obra maestra desde un punto de vista literario, pero es un libro muy ameno y entretenido con el que se disfruta mucho leyendo.
Me gustaría, no obstante hacer un par de críticas que quizá revelen la época en el que está escrito el libro (años 70 del siglo XX), Por un lado el tema de las relaciones sexuales, que tiene importancia en el relato parece más propio de personas que viven en los años 50 ó 60 del siglo XX en España que del siglo XXXI en el que se desarrolla la novela.
Por otro lado, la religión tiene un peso en la novela bastante elevado, preguntarse en el año 3017 por el papel que juegan los alienígenas en el plan divino me parece excesivo parta una humanidad con un grado de desarrollo científico considerable.
Fotos tomadas del diario EL PAÍS




lunes, 18 de julio de 2016

Cosmicomic

Este cómic nos acerca al descubrimiento del fondo de radiación de microondas que fue descubierto por Arno Penzias y Rober Wilson en 1965 y por cuyo descubrimiento recibieron el premio Nóbel en 1978.
Los autores nos  van poniendo en antecedentes contándonos como se miden las distancias en el universo, como ello dio lugar al conocimiento de otras galaxias, a los descubrimientos de Hubble sobre cómo se alejan unas galaxias de otras. La teoría de la relatividad y la resolución de las ecuaciones de Einstein resueltas por el matemático ruso A. Friedmann demostraban la existencia de un universo en expansión, también los trabajos del científico y cura G. Lemaitre. Todo ello llevó a los físicos a suponer que si el universo estaba en expansión en algún momento deberia haber estado toda la materia más concentrada y a suponer que toda ella surguó de una gran explosión, el "Big Bang". Posteriormente, los trabajos de Gamow, Alpher y Hermann en 1948 dedujeron que esta explosión debería haber dejado un rastro y predijeron la existencia de un fondo de radiación de microondas, pero estos trabajos se olvidaron hasta que fueron redescubiertos en la años 60 del siglo XX.
Los ruidos en la antena de que Penzias y Wilson no podían eliminar no era más que "el ruido" de esta explosión que dio lugar al nacimiento el universo.
Es un cómic muy bien narrado porque la parte científica está explicada de una forma muy sencilla y comprensible por todos. Además está muy bien estructurado ya que van apareciendo en los momentos oportunos los hechos que son necesarios para entender la trama.