lunes, 27 de marzo de 2017

Los problemas geométricos fáciles más difíciles

En geometría hay ejercicios que se pueden resolver con herramientas básicas como que la suma de los ángulos de un triángulo suman 180º, que en un triángulo isósceles los lados iguales forman con el otro lado ángulos iguales y poco más. Los dos problemas que aparecen en este enlace son de este tipo y según el autor son "The hardest easy geometry problems".

Una vez resueltos estos problemas se me ocurrió uno similar, pensando que sería fácil de resolver

Sea ABC un triángulo equilátero
Desde el vértice A trazamos la recta AE que forma en A 30º (bisectriz del ángulo A del triángulo)
Desde el vértice B trazamos la recta BD que forma con el lado BC del triángulo un ángulo B
¿Cuánto vale el ángulo D de la figura? 
En algunos casos es sencillo por ejemplo si B=30º, se tiene que D=30º, si el punto D coincide con A (B=60º)  también D=30º y si D coincide con C (B=0º) entonces D=0º, pero en general la relación entre el ángulo en B y D no es fácil de averiguar.
En la siguiente gráfica se ve esta relación.

Aparecen dos gráficas, la roja corresponde al valor del ángulo D (en radianes) la verde es el seno de ese ángulo, coinciden casi en su totalidad porque para ángulos pequeños sen a=a, en el eje X está representado el valor del ángulo B (en radianes)
Las recta vertical j corresponde al caso fácil B=30º (en radianes), la recta i corresponde al caso fácil B=60º (en radianes) 
Se observa que si el ángulo B aumenta desde B=0º para el que se tiene D=0º, hasta alcanzar un máximo que "parece" que es para B=45º=,0,785 (recta h) después vuelve a disminuir. No es posible averiguar exáctamente el valor del ángulo D en el máximo (0,58 radianes, recta k en la imagen)
Sería posible calculando el máximo de la función que da el ángulo D (la gráfica roja), pero es una función muy complicada.


lunes, 6 de marzo de 2017

Dos problemas de divisibilidad

Estos ejercicios están sacados del libro "100 great problems in elementary mathematics" de H. Steinhaus, son los siguientes

1.- Demostrar que la siguiente expresión es divisible por 11 para cualquier número k natural


2.- Demostrar que la siguiente expresión es divisible por 13, 49, 181 y 379, pero no por 5 ni por 11

                                                                                                                                                                    Las siguientes imágenes están sacadas del diario El País, son de M. C. Echer, este enlace te lleva a su página web





viernes, 17 de febrero de 2017

Serías capaz de encontrar dos números tales que su suma, su producto y su cociente fueran iguales?
(Sacado del libro de Matemáticas II de la editorial EDITEX)






miércoles, 11 de enero de 2017

A history of pi

Desde que los seres humanos se interesaron por medir áreas y longitudes de figuras circulares el número p ha estado presente de una manera u otra en estas medidas. Este nos cuenta la historia de este número desde su aparición en este párrafo de la biblia 
"Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del uno al otro lado, redondo y de cinco codos de alto y ceñido en derredor de un cordón de treinta codos"
que supone que p=3 hasta la imposibilidad de la cuadratura del círculo porque p es un número trascendente.
Entretanto conocemos los valores de  que usaron los egipcios, los babilónicos los antiguos griegos, donde se hace referencia a Arquímedes y su acotación de este número usando polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, empezando por un hexágono y duplicando el número de lados hasta usar un polígono de 96 lados. También conocemos los valores que usaron los indues y los chinos. Estos valores se resumen en la tabla

Posteriores usos del método arquimediano con polígonos con más lados obtuvieron acotaciones más precisas.
Pero hasta Viète (1593) y Wallis (1655) que obtuvieron respectivamente las siguientes fórmulas



no se hicieron nuevos progresos.
La ventaja algunas de estas series es que convergen más rápido que usando el método de Arquímedes lo que permite calcular cada vez más números de su desarrollo decimal en menos tiempo. Por ejemplo Leibniz, a partir del desarrollo en serie de la función arcotangente obtuvo el desarrollo


que converge lentamente, pero Euler usando combinaciones de arcotangentes obtuvo la formula


que converge rápidamente.
Los cada vez más decimales obtenidos par el número p hacían sospechar que el número era irracional, lo que fue demostrado por Lambert en 1766. Posteriormente, Lindeman (1882) demostró que era un número trascendente (número que no es solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros). De esta forma quedó resuelto uno de los grandes problemas griegos, el de la cuadratura del círculo (encontrar un cuadrado con el mismo área que un círculo dado usando sólo regla y compás). Los números trascendentes no son construibles con regla y compás, cuadrar el círculo es equivalente a construir con regla y compás un cuadrado de lado
que es trascendente.
El libro es un recorrido por la historia de la geometría desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Desde mi punto de vista sobran algunas secciones, como las dedicadas a los "cuadradores de círculos": personas que dicen haber encontrado la cuadratura del círculo de acuerdo a las reglas griegas y que no son más que charlatanes. La opinión del autor sobre ciertas épocas de la historia es demasiado tendenciosa.  






lunes, 14 de noviembre de 2016

Cero. La biografía de una idea peligrosa.

Este libro relata la historia del número cero. Los babilonios inventaron el cero, pero fueron los hindúes quienes perfeccionaron el concepto hasta como lo conocemos hoy. También los mayas descubrieron el cero por su cuenta. Desde que el cero ocupó un lugar con el resto de los números creó problemas a la hora de hacer multiplicaciones y divisiones.

Los antiguos griegos lo rechazaron porque uno de sus pilares filosóficos era que el vacío no existía y el cero se identificaba con el vacío, tampoco el infinito gustaba a los griegos, lo vemos en las famosas paradojas de Zenón y las relaciones entre ambos conceptos son muchas. Este rechazo les impidió muy probablemente avanzar más en el conocimiento matemático, lo que les podría haber llevado a la invención del cálculo diferencial e integral.

No tuvieron estos problemas en la India, su religión y filosofía estaban preparadas para aceptar el cero, tampoco tuvieron muchos problemas con los números negativos.
A través de los árabes penetró en Europa en el siglo XII, sin embargo la Iglesia y los filósofos lo rechazaron porque se oponía a las ideas aristotélicas y la Iglesia había basado su teología y las pruebas de la existencia de Dios en ellas.

Pero las nuevas ideas eran ya imparables, durante el Renacimiento y en siglos posteriores, a medida que las ciencias avanzaban en Europa, el cero y su pariente el infinito se convirtieron en protagonistas de las nuevas matemáticas del cálculo diferencial e integral.

También el cero se introdujo en la física que nació a partir del Renacimiento, experimentos que demostraban que se podía hacer el vacío, el cero absoluto de temperatura, etc.  permitieron familiarizarse con estos conceptos antes prohibidos. La aplicación de las matemáticas para establecer las leyes de la física permitieron que aparecieran singularidades allí donde la ecuación deja de tener sentido porque aparece una división por cero, por ejemplo. El concepto de agujero negro es una singularidad en las ecuaciones de Einstein, pero los agujeros negros existen, como otros conceptos que aparecen en la física cuántica, por ejemplo la energía del vacío que hace que aparezcan infinitos por doquier. La nueva teoría de cuerdas permite que estas singularidades desaparezcan, pero no existen experimentos que permitan decidir si esta teoría es cierta. Si se demostrara  su validez con experimentos tendríamos una teoría que es capaz de unir la relatividad general que explica lo muy grande (las galaxias, el universo) con la física cuántica que explica lo muy pequeño (átomos, quarks, etc) En ella tienen depositada sus esperanzas muchos físicos. Permitiría, además, que los ceros e infinitos desaparezcan de la física.

Un magnífico libro, muy fácil de leer aunque no se tengan grandes conocimientos matemáticos. El libro desarrolla lo resumido arriba. No sólo es una historia de una parte de las matemáticas, también habla de filosofía y de física. Es un recorrido de más de 25 siglos desde el nacimiento del cero hasta la teoría de cuerdas. Muy recomendable.
Fotos dela luna de "El País"




lunes, 7 de noviembre de 2016

Cubos y cuadrados

El otro día vi en un libro esta relación que no conocía y que me parece muy interesante


¿Sabrías demostrarla?
Te puede ayudar una relación que coloqué en la entrada "Relaciones interesantes"
Fotos del diario "El País"




sábado, 15 de octubre de 2016

La soledad de los números primos

Los números primos son especiales en matemáticas, además aparecen entre los otros números sin una pauta que permita adivinar si un número es primo o no. No hay una fórmula que permita obtener los infinitos números primos que existen.
Por otra parte se pueden encontrar grupos de números consecutivos que no son primos tan grandes como queramos: de 1000,  de 1000.000 números....
Excepto los números primos 2 y 3 que son consecutivos, no existen otros números primos que estén tan próximos. Siempre hay como poco un número no primo que se interpone entre ellos: son los llamados números primos gemelos como 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc.
Esta es la imagen de la que se vale Paolo Giordano para contarnos 7 momentos en la vida de Alice y Mattia, 7 momentos que recorren desde la infancia hasta que llegan a la madurez.
Dos personas, especiales como los números primos,  marcadas por acontecimientos trágicos que ocurrieron en su infancia y  que condicionan sus vidas. Dos personas que se aman, pero que siempre, como con los números primos gemelos, se interpone algo que les impide juntarse.
Una historia de amor y de soledad, pero también una historia sobre la incapacidad de comprometerse con los otros, sobre el desprecio a los diferentes.... Un libro recomendable.