domingo, 14 de junio de 2015

Mathematics and the search for knowledge

Voy a empezar con un problema que he encontrado en el libro y que dice más o menos lo siguiente( el libro no está traducido al español y la traducción es libre)
Un frutero vende manzanas a 2 por cada 5 céntimos y naranjas a 3 por cada 5 céntimos. Como no le gusta hacer cuentas decide mezclar las manzanas con las naranjas (se supone que hay igual cantidad de ambas) y vender 5 piezas de ambas frutas a 10 céntimos, pensando que de esta forma no gana ni pierde. La pregunta es ¿Hace lo correcto?

Sigo con el comentario del libro
Siempre me han gustado los libros de Morris Kline, me pare ce un muy buen divulgador de las matemáticas, en este libro nos habla de la importancia de las matemáticas en el estudio y conocimiento de las leyes físicas.
Después de una introducción en la que hace un repaso de las diferentes teorías filosóficas sobre el conocimiento y  si lo que podemos percibir por los sentidos y si ello es fiable o no, pasa a exponernos como a partir de Pitágoras, las matemáticas van adquiriendo un papel central en la explicación de lo que ocurre en la naturaleza.
Partiendo de los trabajos de astronomía de los griegos, sobre todo de la teoría geocéntrica de Ptolomeo con sus complicados mecanismos para explicar los movimientos planetarios, nos introduce en como las matemáticas acuden en ayuda de los científicos para explicar las teorías o para rechazarlas, ya que lo que llevó del modelo geocéntrico al heliocéntrico de Copérnico y Kepler fue que estos eran más sencillos matemáticamente.
Las matemáticas se convierten así en el lenguaje en el que están escritas las leyes de la naturaleza. el estudio de las matemáticas es crucial para entender el pensamiento de dios  que ha creado el mundo de acuerdo a leyes matemáticas.

Este pensamiento se refuerza con las leyes de Newton de la gravitación que permitieron  el descubrimiento del planeta Neptuno antes de ser visto porque las irregularidades en la órbita de Urano llevaron a la conclusión de que debería haber otro planeta  que fue descubierto a través de cálculos matemáticos por Leverrier.

A partir del siglo XIX con la teoría del Electromagnetismo de Maxwell las matemáticas adquieren un papel todavía mas crucial ya que, por un lado aparecen los conceptos de "campo" que no se sabe que realidad física tiene, y por otro, las ecuaciones son capaces de predecir fenómenos nunca observados como las ondas electromagnéticas o explicar las propiedades de la luz.

La teoría de la relatividad y la física cuántica introducen en la física conceptos nuevos que no tienen un significado preciso para nuestros sentidos y que, en algunos casos, son contrarios al sentido común, pero que pueden explicarse matemáticamente como la idea de que los objetos pueden comportarse a la vez como ondas y partículas o que el campo gravitatorio cambia la geometría del espacio.

Llegamos así a las cuestiones más importantes que se plantean en el libro:
¿Por qué las matemáticas funcionan? es decir Por qué hacen predicciones tan correctas de los fenómenos que ocurren?
¿Qué realidad física tiene los conceptos matemáticos que se usan en las teorías de la física?
¿Son las matemáticas la única herramienta que nos permite conocer la realidad física?
 ¿Los conceptos involucrados en las teorías físicas son reales o sólo los aceptamos porque hacen predicciones que son correctas?
¿Son reales las teorías físicas o sólo son una aproximación a la realidad?
¿Existe la realidad?
Fotos del diario "El País"

lunes, 11 de mayo de 2015

Problemas de matemáticas en el periódico

En unos pocos días han aparecido en las redes sociales varios problemas de matemáticas, alguno de ellos se ha hecho viral, como el de este enlace que apareció en un examen a unos alumnos en Singapur


A los pocos días apareció este otro, muy interesante, porque nos indica como se puede simplificar un problema aparentemente difícil, ahí va el enlace. Parece que fue propuesto a alumnos de secundaria hace 20 años y lo resolvieron muy pocos.


Por último, días después, apareció este otro con 7 problemas clásicos de lógica, muy interesantes.

Tenéis las soluciones, pero tratad de hacerlos sin mirar. Haber si conseguimos hacer que todas las matemáticas sean un fenómeno viral


viernes, 20 de marzo de 2015

Al otro lado del espejo. La simetría en matemáticas


Este libro pertenece a la colección "El mundo es matemático" que actualmente publica National Geographic, pero que ya se ha vendido antes en los quioscos.
Joaquín Navarro hace un recorrido por la teoría de grupos como herramienta para el estudio matemático de la simetría. El libro se detiene someramente en la teoría de Galois y el estudio de las ecuaciones, en las simetrías de frisos y mosaicos y en el uso de la teoría de grupos y la simetría en el desarrollo de la mecánica cuántica y en las teorías unificadas de las diferentes fuerzas (electromagnética, fuerza débil, fuerza fuerte y gravedad).
El libro es interesante como un primer acercamiento ala teoría de grupos, pero algunos puntos serán difíciles de entender para personas con conocimientos básicos de matemáticas, por ello creo que como libro de divulgación debería ser más sencillo.
 A continuación un selección de fotos con simetrías

Estas dos primeras tienen un eje de simetría vertical que pasa por el centro de la foto


Estas fotos tienen figuras que tienen simetría al girarlas un número determinado de grados





A continuación varios mosaicos






lunes, 2 de marzo de 2015

Great moments in Mathematics before 1650

El libro que da título a la entrada contiene 20 lecturas que corresponden, como indica el títulño a momentos en la historia de las matemáticas donde se produjo un gran descubrimiento matemático. Es por lo tanto un libro de historia de las matemáticas que abarca desde las teorías sobre como los humanos aprendimos a contar, pasando por las matemáticas babilónicas y egipcias. Se detiene en los descubrimientos de las matemáticas griegas y continua por la Edad Media hasta el Renacimiento con el descubrimiento de las soluciones de las ecuaciones de 3º y 4º grados, Napier, Descartes, Kepler, Galileo y Cavalieri.
Es una buena introducción a diferentes temas como la geometría analítica, cálculo, numeración indoarábiga, etc.
Tanto los problemas de esta entrada como al anterior están sacados de este libro.



Los tres problemas que van a continuación pertenecen al libro "Liber Abaci" de Leonardo de Pisa, Fibonaci. En este libro se introducen por primera vez en Europa los números arábigos, el libro ayudó a popularizarlos.


1.- Un hombre dejó a sus hijos una herencia de en monedas de oro. Para el hijo más viejo dejó una moneda y 1/7 de la cantidad restante de monedas. Para el segundo dejó 2 monedas y 1/7 de la cantidad que quedaba. para el tercero eran 3 monedas y 1/7 de la cantidad restante. Así continuó hasta el hijo más joven ¿Cuántos hijos tenía y cuántas monedas dejó a cada uno teniendo en cuenta que todos recibieron la misma cantidad de monedas?

2.- Cierto rey envió a 30 de sus hombre a plantar árboles. Plantaron 1000 árboles en 9 días ¿Cuántos días tardarán 36 hombre en plantar 4400 árboles?

3.- Un hombre se introdujo en una fortaleza después de pasar 7 puertas y robó un cierto número de manzanas. Cuando salió dio al primer guarda la mitad de las manzanas más una manzana, al guarda de la segunda puerta le dio la mitad de las manzanas restantes más una manzana y así sucesivamente con los guardas de las 7 puertas, al final le sobró una sola manzana ¿Cuántas manzanas robó?


Imágenes de a Capilla Sixtina obtenidas de "El País"

viernes, 20 de febrero de 2015

Tres problemas muy antiguos

Los siguientes problemas tienen más de 1500 años, están sacados de una obra de un autor griego que vivió  alrededor del año 500 dC. Los recopiló en una obra que se denomina  "Anthologia Graeca". Están sacados del libro "Great moments in mathematics before 1650"
1.- Un señor le dice a un constructor de ladrillos: tengo prisa por terminar mi casa, hoy está nublado y necesito 300 ladrillos. El constructor hoy no trabaja, pero su hijo es capaz de hacer 200 ladrillos por día y su yerno 250 ¿Cuánto tardarán en hacer los 300 ladrillos entre los dos juntos?
2.- Se ha construido una fuente con forma de león que está en el centro de un estanque, los chorros de la fuente son los dos ojos, la boca y una de las patas. Si sólo echa agua el ojo derecho se llena el estanque en 
2 días, si lo hace sólo el ojo izquierdo se llena el estanque en 3 días, si lo hace la pata en 4 días y si lo hace la boca lo llena en medio día. ¿Cuánto tardarán las cuatro fuentes juntas en llenar el estanque?
3.- Haz una corona de oro, cobre, estaño y hierro de peso 60 minas, de tal manera que el oro y cobre sean los dos tercios, el oro y el estaño sean los tres cuartos y el oro y el hierro sean los tres quintos.
Todas estas imágenes y más pueden verse en la web de su autor: John Edmark

martes, 27 de enero de 2015

Escaleras mecánicas

Dos problemas muy sencillos
1.- Una persona baja por una escalera mecánica con la escalera funcionando en 15 segundos, si la escalera no funciona baja en 20 segundos, si la persona se para en un peldaño, ¿ En cuántos segundos le baja la escalera?



2.- El siguiente problema está sacado de una web que me gusta mucho y que contiene interesantes problemas de geometría, se llama Go Geometry y se trata de demostrar,  como indica la figura, que el área de la región S es la suma de las áreas de las regiones S1, S2 y S3


sábado, 3 de enero de 2015

Love & Math

"Love & Math " es un libro de divulgación de matemáticas y también una autobiografía de su autor: Edward Frenkel.
El autor nos cuenta como se convirtió en matemático en la extinta Unión Soviética. Debido a su ascendencia judía no pudo ingresar en la Universidad de Moscú, no obstante hizo los exámenes de ingreso y los pasó brillantemente, pero se los valoraron muy bajo y le complicaron los ejercicios para que no entrara. Al final consiguió plaza en el Instituto Kerosinka, un refugio para los estudiantes judíos brillantes. Allí empezó sus investigaciones matemáticas y conoció a algunos de los matemáticos soviéticos más importantes como Israel Gelfand que le dirigieron estas investigaciones.
Alternando capítulos sobre su propia vida con otros de contenido matemático como la relación del teorema de Fermat con las formas modulares y con cierto tipo de ecuaciones, nos enteramos del significado de la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil cuya demostración por parte del matemático británico Andrew Wiles supuso la demostración del teorema de Fermat:

La ecuación anterior no tiene solución siendo x, y z, n números enteros y n>2.

Conocemos también la obra del matemático francés Evariste Galois: la teoría de grupos y su relación con las funciones automorfas.
Con todo ello nos introducimos de la mano del autor en el programa de Langlands, una teoría que relaciona partes de las matemáticas muy alejadas entre sí  como la teoría de números, las curvas sobre campos finitos y las superficies de Riemann.

Foto de Edward Frenkel

Edward Frenkel nos lleva de esta forma a conocer las matemáticas más actuales y más abstractas y lo hace de una forma amena por la pasión que el autor muestra por las matemáticas.
Posteriormente el autor es invitado a la Universidad de Harvard donde continua trabajando en el programa de Langlands, son los años convulsos después de la perestroyka y de la desaparición de la URSS, así que esta invitación supone su instalación definitiva en los Estados Unidos. Allí trabaja con Edward Witten (teoría de cuerdas) y con otros matemáticos importantes extendiendo el programa de Langlands a la física cuántica.
Es este un libro magnífico porque como dice una de las personas que lo elogian en la cubierta: "Si no lo eres, este libro podría hacer que te convirtieras en un matemático", leyendo el libro nos introducimos en el quehacer diario de un matemático, sus bloqueos, la alegría cuando has resuelto algo importante,..., en definitiva la apasionante tarea que es hacer e investigar en matemáticas.
No es un libro fácil de leer, se requieren conocimiento matemáticos por lo menos de 2º de bachillerato. Además el libro no está traducido al español.
Por último, es un libro que nos introduce en las matemáticas más modernas que siendo muy difíciles y abstractas el autor es capaz de transmitirnos.

En el libro se habla, al final de la fórmula del amor y de un film sobre ello que hizo el autor, aquí está un trailer de esta película.

Para más información, la web del autor





Rites of Love and Math - the Official Trailer from Edward Frenkel on Vimeo.