sábado, 16 de septiembre de 2017

Cantor, Hilbert y Godel

"Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética, hablo del infinito"
Jorge Luis Borges  "Avatares de la tortuga"




















El concepto de infinito es uno de los más problemáticos en matemáticas. Pero tratando de comprenderlo, los matemáticos han conseguido no sólo bellas teorías sino que han hecho avanzar las matemáticas.

¿Qué es el infinito?
Aristóteles pensaba que el infinito sólo existía en potencia, pero no en acto. Esto significa que cuando nos referimos, por ejemplo, a la secuencia de números naturales 1, 2, 3, 4, 5 , 6, ....... y decimos que es infinita nos referimos a que nunca acaba, que llegue a donde llegue escribiéndola siempre podré escribir otro número.  El infinito en acto sería decir que el conjunto de números naturales contiene infinitos números.
Galileo expuso la paradoja de que había tantos números naturales como números cuadrados, siendo éstos un subconjunto de los números naturales. basta con asignar a cada número su cuadrado:
1-----1
2-----4
3-----9
4-----16
5-----25
6-----36
............
En el siglo XVII Newton y Leibniz inventaron el cálculo diferencial e integral, pero enseguida fueron criticados por la falta de rigor de algunos razonamientos que involucraban lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. Como el cálculo era una potente herramienta que permitió resolver muchos problemas los matemáticos siguieron usándolo. Pero en el siglo XIX se vio la necesidad de fundamentar el cálculo sobre unas bases consistentes. Los matemáticos empezaron a fundamentar la matemática sobre la teoría de conjuntos lo que les permitió definir los conjuntos numéricos hasta los números reales de una forma rigurosa. Los trabajos de Cantor sobre el infinito pueden enmarcarse dentro de la teoría de conjuntos, de la que él es uno de los creadores y también dentro de la fundamentación cálculo diferencial. Cantor estudiando las series de Fourier llegó a la idea de que tenía que tratar con el infinito en acto.
Cuando se creía que la teoría de conjuntos y la lógica (logicismo) eran las bases de la matemática aparecieron paradojas en la teoría de conjuntos, esto junto con las ideas que surgieron de los trabajos de Cantor sobre el infinito echaron por tierra echaron por tierra al logicismo. Surgieron entonces dos vías para fundamentar la matemática el intuicionismo liderado por L. E. Brouwer que rechazaba el infinito en acto y que propugnaba que las demostraciones matemáticas debían ser constructivas, es decir, si se quería demostrar que algo existía, la demostración debía incluir su construcción.
Por otra parte surgió el formalismo liderado por Hilbert, que afirmaba que las matemáticas  eran como un juego en el que había unos elementos iniciales llamados axiomas que se manipulaban con un conjunto de reglas. Al contrario que los intuicionistas, los formalistas aceptaron los trabajos de Cantor. Hlibert afirmó : "Nadie podrá echarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros"
Los formalistas consiguieron fundamentar el cálculo y la geometría basándose en los axiomas de la aritmética y creían (Programa de Hilbert)  que se podría averiguar que con estos axiomas podrían demostrarse todas las verdades matemáticas (era un sistema completo) y que nunca se llegaría a demostrar una cosa y la contraria (consistencia). Hilbert resumía estas ideas en su famosa cita: "Debemos saber. Sabremos"
En 1931 un joven llamado Kurt Godel asistía en Konigsberg (la ciudad en la que nació Hilbert) a un congreso dedicado al la teoría de la demostración. Allí anunció su primer teorema de incompletitud que afirma que hay verdades aritméticas que no se pueden demostrar usando los axiomas de la aritmética y los métodos de demostración que Hilbert y los formalistas aceptaban. En un artículo de ese mismo año aparecía el segundo teorema de incompletitud que afirma que usando los axiomas de la aritmética no se puede demostrar su propia consistencia. De esta forma  echaba  por tierra el programa de Hilbert.

Todas estas ideas pueden leerse en los libros cuyas portadas aparecen en esta entrada y en el que comenté en la entrada sobre Hilbert. Todos ellos pertenecen a la colección "Grandes ideas de la ciencia"

Fotos del diario EL PAÍS




martes, 5 de septiembre de 2017

Hilbert. Las bases de la matemática

El libro está publicado dentro de la colección "Grandes ideas de la ciencia". Hace un recorrido más o menos cronológico por las muchas aportaciones de Hilbert a las matemáticas.
El capítulo 1 nos introduce en sus primeros trabajos. La demostración del problema de Gordan sobre invariantes algebraicos le dio a conocer a toda la comunidad matemática ya que hizo una demostración de existencia, no constructiva, lo que llevó a Gordan a exclamar "¡Esto no son matemáticas! ¡Es teología!" Posteriormente realizó un informe sobre el estado de la teoría de números en él Hilbert ordenó los resultados que existían hasta entonces bajo un nuevo punto de vista y rellenó con aportaciones suyas los huecos encontrados. Por último en el libro "Fundamentos de la geometría" se centró en axiomatizar la geometría, puso orden en los axiomas de los Elementos de Euclides, poniendo de relieve nuevos axiomas que Euclides utilizó pero que no reflejó en su libro.
El segundo capítulo se centra en los 23 famosos problemas que Hilbert expuso en el II congreso de matemáticos de Paris  de 1900 como programa para la matemática del siglo XX.
El capítulo 3 se centra en las aportaciones de Hilbert al cálculo de variaciones,a la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y a las ecuaciones integrales y la importancia que sus trabajos tuvieron par axiomatizar pares de la física, El libro se centra en la axiomatización de la física cuántica usando el análisis funcional que Hilbert creó y la búsqueda de unas ecuaciones para la relatividad general.
El cuarto capítulo está dedicado a la ingente labor de Hilbert en la fundamentación de la matemáticas y sus aportaciones como líder de la corriente formalista que pretendía fundamentar toda la matemática a partir de axiomas.
Este sueño de Hilbert fracasaría debido a los resultados que demostraría Godel (los famosos teoremas de incompletitud) Estos resultados se comentan en el último capítulo.

Es un libro que sin mucho aparato matemático nos permite hacernos una idea bastante fiel de la importancia de Hilbert en la matemática del primer tercio del siglo XX, así como de lo que se dio en llamar la crisis de los fundamentos de la matemática. Permite además entender la postura de Hilbert (formalista) frente a otras como la logicista o los intuicionistas y lo que cada uno defendía y rechazaba.




Fotos de el diario EL PAIS

miércoles, 30 de agosto de 2017

Prime obsession. Problema

Ya sabemos que los números irracionales son números decimales que tienen infinitas cifras, pero que no tienen periodo. Hay números irracionales que son trascendentes. Creo que los que aparecen en los siguientes problemas lo son.

El primero aparece en el libro que he comentado en la entrada anterior

En el número irracional 0,123456789101112131415..................
¿Qué cifra ocupa el lugar 100? ¿Y el lugar 1000? ¿Y el lugar 1000000?
En el número irracional 0,10100100010000100000..................
¿Qué lugar ocupan las cifras que van con 1?


Prime Obsession

El libro "Prime Obsession. Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics" de J. Derbyshire es un libro de divulgación (no está en español) que trata de explicar el significado de la hipótesis de Riemann.
La función   da el número de números primos que son menores que x. Por ejemplo



ya que hay 4 números primos menores que 10 (2, 3, 5, 7) y 9 números primos menores que 25 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Gauss y Legendre conjeturaron que

Que puede interpretarse como que la función  se aproxima a la expresión de la derecha a medida que x se hace muy grande. Este resultado se conoce como el teorema de los números primos y fue demostrado a finales del siglo XIX por J. Hadamard y C. de la Vallée Pousin.
Por otro lado, Riemann en un artículo de 1859 titulado "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada" estableció una relación entre la función  y otra función que desde entonces se denomina función z de Riemann:

Esta función también puede escribirse 

donde p recorre todos los números primos. 
En realidad esta función fue creada por Euler, que además, estableció la relación entre las dos expresiones, para él s era un número real. Riemann extendió la función al campo de los números complejos.
En dicho artículo Riemann encontró una relación entre  y la función z, se podía calcular cualquier valor de  a partir de una expresión en la que aparecian los ceros de la funcion z, es decir los valores de s para los que 



Riemann conjeturó que los ceros no triviales de la función z son números complejos cuya parte real es 1/2, esta es la famosa Hipótesis de Riemann, uno de los más importantes problemas no resueltos de matemáticas.
El libro va paso a paso introduciendo al lector en las matemáticas que se necesitan para para entender la hipótesis, aunque creo que se necesitan conocimientos más elevados que los de bachillerato para llegar a entender completamente bien los pasos que sigue el autor del libro.
Sólo la mitad de los capítulos (los impares) son de contenido matemático. Los capítulos pares están dedicados a comentar la vida y obra de los matemáticos que aparecen en el texto: Riemann, Gauss, Euler, Hilbert, etc.
Es un libro interesante porque permite ver claramente la importancia de la hipótesis de Riemann en la distribución de los números primos, algo que otros libros de divulgación mencionan, pero en los que esta relación no queda clara.


miércoles, 26 de julio de 2017

Cinco islas y diez itinerarios

Partiendo siempre de la misma isla ¿De cuántas formas diferentes puedo hacer los 10 rumbos indicados recorriendo cada uno de ellos una sola vez y visitando las cinco islas?
Las islas son los vértices del pentágono A, B, C, D. E. Las rutas son los segmentos o curvas dibujadas, ambas figuras son equivalentes.
Fotos tomadas de el diario EL PAIS




jueves, 13 de julio de 2017

Sapiens. De animales a dioses

No suelo reseñar libros en este blog que no sean de física y matemáticas, pero creo que éste merecía la pena.Me refiero a "Sapiens. De animales a dioses" de Yuval Hoah Harari


Si ya es una osadía tratar de contar la historia de la humanidad en 450 páginas, más lo es la forma como lo hace el autor. Cito sus palabras (no textualmente)
Hace 13.500 millones de años surgió el big bang y surgió la Física. Unos 300.000 años después aparecieron los átomos y empezó la Química. Hace 3800 millones de años, en la Tierra, algunas moléculas formaron estructuras grandes y complejas llamadas organismos, así empezó la Biología. Hace 70.000 años unos organismos llamados homo sapiens empezaron a formar estructuras todavía mas complejas llamadas culturas y así empezó la Historia.
Desde un punto de vista novedoso en el que la Historia no es más que la continuación de una evolución que se remonta a la aparición de los seres vivos y en el que no existe una finalidad,  sino una continua evolución basada en la evolución de las especies.


En esta evolución hay tres hitos:

  1. La revolución cognitiva que ocurrió hace 70.000 años
  2. La revolución agrícola, hace unos 10.000 años
  3. La revolución científica, hace unos 500 años.

El autor nos cuenta como surgió la agricultura y como las religiones, los mitos, el dinero... que no son más que ficciones inventadas por el homo sapiens tienen el poder unirnos en objetivos comunes. La revolución científica está consiguiendo que nos convirtamos en dioses capaces de crear otras criaturas y vencer a la muerte.
El libro es muy provocativo por los originales puntos de vista desde los que trata algunos temas. Por ejemplo el autor piensa que la revolución agrícola fue un trampa en la que caímos los humanos y de la que no hemos podido escapar o que desde un punto de vista genético no fue el hombre el que domesticó al trigo, sino al contrario.
Otras opiniones controvertidas pueden ser que el capitalismo o el comunismo son religiones, sin embargo, estas opiniones llevan siempre a reflexionar sobre ellas, es como si uno pensara "Pues es verdad, cómo no se me ha ocurrido" Por ello recomiendo leerlo, es muy ameno y fácil de leer
Fotos tomadas de el diario EL País


jueves, 29 de junio de 2017

Problemas de verano

Unos cuantos sencillos problemas para entretenerse.

1.- ¿Para qué valores de n la expresión siguiente es un número entero?




2.- Resolver la ecuación




3.- Busca seis números impares a, b, c, d, e, f  que verifiquen



4.- Carmen y sus amigos están sentados alrededor de una mesa redonda. Observan que cada uno tiene a su izquierda y a su derecha  amigos del mismo sexo. Si hay 5 chicos ¿Cuántas chicas hay?