jueves, 20 de agosto de 2015

Cruzar desiertos

En el libro "FÁCIL, MENOS FÁCIL, DIFÍCIL" de Mariano Mataix, aparecen unos problemas bastante interesantes, como el título indica son de diferentes niveles, algunos realmente difíciles
Voy a poner dos que tienen la misma temática de cruzar un desierto.


1.- ¿Cuánto tardará un explorador en cruzar un desierto de 100 Km de ancho, si puede hacer 20 Km cada día, pero sólo puede llevar agua y comida para 3 días? (Suponer que el explorador hace depósitos de provisiones en los puntos alcanzados después de uno o más días completos de viaje)


2.- Un camión se encuentra en el borde de un desierto de 800 Km de ancho. La carga de gasolina de su depósito sólo le permite recorrer 500 Km. Al comienzo del desierto hay disponible toda la gasolina que quiera, pero no puede llevar más que la que quepa en el depósito (no se le permite llevar bidones con gasolina de reserva). El camión puede establecer depósitos de gasolina en el desierto. ¿Cuál será el número mínimo de viajes que debe hacer el camión para cruzar el desierto?
Si el desierto tuviera 2000 Km de anchura ¿Podría atravesarlo?
Imágenes tomadas del diario "El País"

lunes, 10 de agosto de 2015

La esfera que quiso ser infinita

Se puede cortar una esfera maciza en ocho trozos y después unirlos como si fuera un puzle y obtener dos esferas macizas del mismo tamaño que la original.
Esto es lo que afirma el teorema de Banach y Tarski y no es una paradoja, el teorema es perfectamente correcto, además si continuamos el proceso y dividimos las esferas resultantes podemos obtener infinitas esferas como la inicial.
Así comienza este libro que nos habla del significado de la medida en matemáticas.
Después de una introducción en la que se nos recuerda desde el significado de longitud de una curva, del área de una superficie y del volumen de un cuerpo, pasando por el álgebra geométrica de los griegos hasta lo que son los conjuntos numerables y no numerables continua con  la demostración del teorema de Banach y Tarski.
Una vez demostrado, el autor nos introduce en la teoría matemática de la medida y lo que significa que un conjunto sea medible o no. Todo ello para que veamos que no existe paradoja en el teorema, es decir que a partir de una esfera de volumen V no se obtiene dos esferas de volumen V cada una, o lo que es lo mismo a partir de una pelota maciza de goma no se pueden obtener dos pelotas macizas de goma del mismo tamaño que la original. Esto es porque las partes en las que se divide la esfera original no son medibles.
El último capítulo está dedicado a los objetos fractales que pueden entenderse como espacios de dimensión fraccionaria en los que también tiene sentido hablar de medida, pro esta medida no es una longitud (medida de los conjuntos de dimensión 1) ni un área (medida de los conjuntos de dimensión 2) ni un volumen (medida de los conjuntos de dimensión 3)




domingo, 14 de junio de 2015

Mathematics and the search for knowledge

Voy a empezar con un problema que he encontrado en el libro y que dice más o menos lo siguiente( el libro no está traducido al español y la traducción es libre)
Un frutero vende manzanas a 2 por cada 5 céntimos y naranjas a 3 por cada 5 céntimos. Como no le gusta hacer cuentas decide mezclar las manzanas con las naranjas (se supone que hay igual cantidad de ambas) y vender 5 piezas de ambas frutas a 10 céntimos, pensando que de esta forma no gana ni pierde. La pregunta es ¿Hace lo correcto?

Sigo con el comentario del libro
Siempre me han gustado los libros de Morris Kline, me pare ce un muy buen divulgador de las matemáticas, en este libro nos habla de la importancia de las matemáticas en el estudio y conocimiento de las leyes físicas.
Después de una introducción en la que hace un repaso de las diferentes teorías filosóficas sobre el conocimiento y  si lo que podemos percibir por los sentidos y si ello es fiable o no, pasa a exponernos como a partir de Pitágoras, las matemáticas van adquiriendo un papel central en la explicación de lo que ocurre en la naturaleza.
Partiendo de los trabajos de astronomía de los griegos, sobre todo de la teoría geocéntrica de Ptolomeo con sus complicados mecanismos para explicar los movimientos planetarios, nos introduce en como las matemáticas acuden en ayuda de los científicos para explicar las teorías o para rechazarlas, ya que lo que llevó del modelo geocéntrico al heliocéntrico de Copérnico y Kepler fue que estos eran más sencillos matemáticamente.
Las matemáticas se convierten así en el lenguaje en el que están escritas las leyes de la naturaleza. el estudio de las matemáticas es crucial para entender el pensamiento de dios  que ha creado el mundo de acuerdo a leyes matemáticas.

Este pensamiento se refuerza con las leyes de Newton de la gravitación que permitieron  el descubrimiento del planeta Neptuno antes de ser visto porque las irregularidades en la órbita de Urano llevaron a la conclusión de que debería haber otro planeta  que fue descubierto a través de cálculos matemáticos por Leverrier.

A partir del siglo XIX con la teoría del Electromagnetismo de Maxwell las matemáticas adquieren un papel todavía mas crucial ya que, por un lado aparecen los conceptos de "campo" que no se sabe que realidad física tiene, y por otro, las ecuaciones son capaces de predecir fenómenos nunca observados como las ondas electromagnéticas o explicar las propiedades de la luz.

La teoría de la relatividad y la física cuántica introducen en la física conceptos nuevos que no tienen un significado preciso para nuestros sentidos y que, en algunos casos, son contrarios al sentido común, pero que pueden explicarse matemáticamente como la idea de que los objetos pueden comportarse a la vez como ondas y partículas o que el campo gravitatorio cambia la geometría del espacio.

Llegamos así a las cuestiones más importantes que se plantean en el libro:
¿Por qué las matemáticas funcionan? es decir  ¿Por qué hacen predicciones tan correctas de los fenómenos que ocurren?
¿Qué realidad física tiene los conceptos matemáticos que se usan en las teorías de la física?
¿Son las matemáticas la única herramienta que nos permite conocer la realidad física?
 ¿Los conceptos involucrados en las teorías físicas son reales o sólo los aceptamos porque hacen predicciones que son correctas?
¿Son reales las teorías físicas o sólo son una aproximación a la realidad?
¿Existe la realidad?
Fotos del diario "El País"

lunes, 11 de mayo de 2015

Problemas de matemáticas en el periódico

En unos pocos días han aparecido en las redes sociales varios problemas de matemáticas, alguno de ellos se ha hecho viral, como el de este enlace que apareció en un examen a unos alumnos en Singapur


A los pocos días apareció este otro, muy interesante, porque nos indica como se puede simplificar un problema aparentemente difícil, ahí va el enlace. Parece que fue propuesto a alumnos de secundaria hace 20 años y lo resolvieron muy pocos.


Por último, días después, apareció este otro con 7 problemas clásicos de lógica, muy interesantes.

Tenéis las soluciones, pero tratad de hacerlos sin mirar. Haber si conseguimos hacer que todas las matemáticas sean un fenómeno viral


viernes, 20 de marzo de 2015

Al otro lado del espejo. La simetría en matemáticas


Este libro pertenece a la colección "El mundo es matemático" que actualmente publica National Geographic, pero que ya se ha vendido antes en los quioscos.
Joaquín Navarro hace un recorrido por la teoría de grupos como herramienta para el estudio matemático de la simetría. El libro se detiene someramente en la teoría de Galois y el estudio de las ecuaciones, en las simetrías de frisos y mosaicos y en el uso de la teoría de grupos y la simetría en el desarrollo de la mecánica cuántica y en las teorías unificadas de las diferentes fuerzas (electromagnética, fuerza débil, fuerza fuerte y gravedad).
El libro es interesante como un primer acercamiento ala teoría de grupos, pero algunos puntos serán difíciles de entender para personas con conocimientos básicos de matemáticas, por ello creo que como libro de divulgación debería ser más sencillo.
 A continuación un selección de fotos con simetrías

Estas dos primeras tienen un eje de simetría vertical que pasa por el centro de la foto


Estas fotos tienen figuras que tienen simetría al girarlas un número determinado de grados





A continuación varios mosaicos






lunes, 2 de marzo de 2015

Great moments in Mathematics before 1650

El libro que da título a la entrada contiene 20 lecturas que corresponden, como indica el título a momentos en la historia de las matemáticas donde se produjo un gran descubrimiento matemático. Es por lo tanto un libro de historia de las matemáticas que abarca desde las teorías sobre como los humanos aprendimos a contar, pasando por las matemáticas babilónicas y egipcias. Se detiene en los descubrimientos de las matemáticas griegas y continua por la Edad Media hasta el Renacimiento con el descubrimiento de las soluciones de las ecuaciones de 3º y 4º grados, Napier, Descartes, Kepler, Galileo y Cavalieri.
Es una buena introducción a diferentes temas como la geometría analítica, cálculo, numeración indoarábiga, etc.
Tanto los problemas de esta entrada como al anterior están sacados de este libro.



Los tres problemas que van a continuación pertenecen al libro "Liber Abaci" de Leonardo de Pisa, Fibonaci. En este libro se introducen por primera vez en Europa los números arábigos, el libro ayudó a popularizarlos.


1.- Un hombre dejó a sus hijos una herencia de en monedas de oro. Para el hijo más viejo dejó una moneda y 1/7 de la cantidad restante de monedas. Para el segundo dejó 2 monedas y 1/7 de la cantidad que quedaba. para el tercero eran 3 monedas y 1/7 de la cantidad restante. Así continuó hasta el hijo más joven ¿Cuántos hijos tenía y cuántas monedas dejó a cada uno teniendo en cuenta que todos recibieron la misma cantidad de monedas?

2.- Cierto rey envió a 30 de sus hombre a plantar árboles. Plantaron 1000 árboles en 9 días ¿Cuántos días tardarán 36 hombre en plantar 4400 árboles?

3.- Un hombre se introdujo en una fortaleza después de pasar 7 puertas y robó un cierto número de manzanas. Cuando salió dio al primer guarda la mitad de las manzanas más una manzana, al guarda de la segunda puerta le dio la mitad de las manzanas restantes más una manzana y así sucesivamente con los guardas de las 7 puertas, al final le sobró una sola manzana ¿Cuántas manzanas robó?


Imágenes de a Capilla Sixtina obtenidas de "El País"

viernes, 20 de febrero de 2015

Tres problemas muy antiguos

Los siguientes problemas tienen más de 1500 años, están sacados de una obra de un autor griego que vivió  alrededor del año 500 dC. Los recopiló en una obra que se denomina  "Anthologia Graeca". Están sacados del libro "Great moments in mathematics before 1650"
1.- Un señor le dice a un constructor de ladrillos: tengo prisa por terminar mi casa, hoy está nublado y necesito 300 ladrillos. El constructor hoy no trabaja, pero su hijo es capaz de hacer 200 ladrillos por día y su yerno 250 ¿Cuánto tardarán en hacer los 300 ladrillos entre los dos juntos?
2.- Se ha construido una fuente con forma de león que está en el centro de un estanque, los chorros de la fuente son los dos ojos, la boca y una de las patas. Si sólo echa agua el ojo derecho se llena el estanque en 
2 días, si lo hace sólo el ojo izquierdo se llena el estanque en 3 días, si lo hace la pata en 4 días y si lo hace la boca lo llena en medio día. ¿Cuánto tardarán las cuatro fuentes juntas en llenar el estanque?
3.- Haz una corona de oro, cobre, estaño y hierro de peso 60 minas, de tal manera que el oro y cobre sean los dos tercios, el oro y el estaño sean los tres cuartos y el oro y el hierro sean los tres quintos.
Todas estas imágenes y más pueden verse en la web de su autor: John Edmark